正态分布中某一列落在一定范围内的概率

Question

我试图创建一个新列，名为duration_probablity，它可以获取值在6到12小时之间的概率。P(6 < Origin_Duration ≤ 12)

 dput(df)
structure(list(CRD_NUM = c(1000120005478330, 1000130009109199, 
1000140001635234, 1000140002374747, 1000140003618308, 1000140007236959, 
1000140015078086, 1000140026268650, 1000140027281272, 1000148000012215
), Origin_Duration = c("10:48:38", "07:41:34", "11:16:41", "09:19:35", 
"17:09:19", "08:59:05", "11:27:28", "12:17:41", "10:45:42", "12:19:05"
)), .Names = c("CRD_NUM", "Origin_Duration"), class = c("data.table", 
"data.frame"), row.names = c(NA, -10L))

            CRD_NUM Origin_Duration
 1: 1000120005478330        10:48:38
 2: 1000130009109199        07:41:34
 3: 1000140001635234        11:16:41
 4: 1000140002374747        09:19:35
 5: 1000140003618308        17:09:19
 6: 1000140007236959        08:59:05
 7: 1000140015078086        11:27:28
 8: 1000140026268650        12:17:41
 9: 1000140027281272        10:45:42
10: 1000148000012215        12:19:05

我不确定如何在R中实现这种操作。我正在尝试获取标准正态分布的累积分布函数。计算通勤者在某个站点逗留时间介于6到12小时之间的概率。例如，输出结果可能为11:16:41的持续时间为0.96。

我的累积分布函数应该类似于- P(6

- Prasanna Nandakumar

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你尝试过什么吗？计算这些概率的方法是什么？预期输出是什么？ - Sotos

@Sotos 我不确定如何在 R 中实现这一点。我正在尝试获取标准正态分布的累积分布函数。通勤者在某个车站逗留时间介于 6 到 12 小时之间的概率。输出结果可能会是例如 11:16:41 持续时间下的 0.96。 - Prasanna Nandakumar

CDF公式是什么？它如何定义？你希望最终结果是什么？您需要明确并提供尽可能多的信息。 - Sotos

@Sotos P(6 <X≤ 12) = Φ((12−μ)/σ)−Φ((6−μ)/σ) @Sotos P(6 <X≤ 12) = Φ((12−μ)/σ)−Φ((6−μ)/σ) - Prasanna Nandakumar

看看 pnorm，但是你的公式中缺少一些东西：数据与分布参数之间的联系。 - Vincent Guillemot

Answer 1

从您的问题中，我无法确定您是否已经知道平均值和方差。我将讨论这两种情况。此外，我将假设您有理由相信持续时间实际上是正态分布的。

已知参数: 如果您已经给定了预先指定的平均值和方差。比如说，mu = 11 和 sigma = 3。那么您可以使用 P(6 < X ≤ 12) = P(X ≤ 12) - P(X ≤ 6)。基本的 R 函数 pnorm() 可以计算这个值：

mu    <- 11
sigma <- 3
pnorm(12, mu, sigma) - pnorm(6, mu, sigma)
# 0.5827683

未知参数， P(6 < X < 12): 如果你还不知道均值和方差是什么，你可以使用数据的估计值，然后使用学生t分布代替正态分布（这个分布被称为“学生”分布的故事也很有趣，你可以在维基百科链接中找到）。为了找到均值和方差，先将df$Origin_Duration从字符型转换为某种时间类型是有意义的。

df$Origin_Duration <- as.POSIXct(df$Origin_Duration, format = "%H:%M:%S")

mu          <- mean(df$Origin_Duration)       # "2017-09-04 11:12:28 CEST"
df$demeaned <- df$Origin_Duration - mu
sigma       <- var(df$demeaned)^0.5           # 153.68 

请注意，我先减去了平均值，然后再计算差异。我这样做是为了获得以分钟为单位的持续时间。因此，标准偏差应被解读为153.68分钟。

我们将使用“pt”函数来计算概率“P（X≤12）-P（X≤6）”。为此，我们需要一个标准化/缩放/归一化版本的“12”和“6”。也就是说，我们必须减去平均值并除以标准偏差：

x6  <- as.numeric(difftime("2017-09-04 06:00:00", mu), unit = "mins")/sigma
x12 <- as.numeric(difftime("2017-09-04 12:00:00", mu), unit = "mins")/sigma

deg_fr <- length(df$demeaned)-1

p_x_smaller_than12 <- pt( x12, df = deg_fr )    #  0.6178973
p_x_smaller_than6  <- pt( x6,  df = deg_fr )    #  0.03627651
p_x_smaller_than12 - p_x_smaller_than6
# [1] 0.5816208

新增回复：所有条目的未知参数：

# scale gives the distance from the mean in terms of standard deviations:
df$scaled <- scale(df$Origin_Duration)

pt(df$scaled, df = deg_fr)
# [1,] 0.4400575
# [2,] 0.1015886
# [3,] 0.5106114
# [4,] 0.2406431
# [5,] 0.9773264
# [6,] 0.2039751
# [7,] 0.5377728
# [8,] 0.6593331
# [9,] 0.4327620
# [10,] 0.6625280

- KenHBS

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均值和方差未知。根据持续时间，我需要找到每张卡号的概率。我已经得到了一些开始的信息。我的问题是对于数据集中的每一行，我都需要获得概率值。 - Prasanna Nandakumar

很好。有没有参考来检查分布的正常性（Origin_Duration）？ - Prasanna Nandakumar