计算数学函数下方的面积

Question

我在Python中使用2次多项式逼近了一组数据，现在希望计算该多项式在0到1之间的面积。

请问，numpy是否提供类似微积分的包来解决这个问题？或者我应该编写一个简单的函数来进行积分计算呢？

对于定义数学函数的最佳方法我还有些不清楚。

谢谢。

- djq

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如果它是一个二次多项式，只需手动积分即可 - 没有必要使用代码。 - user97370

这是针对一大批多项式的处理，我会将其分批处理，每批处理40个。 - djq

二次多项式曲线下的面积是一次多项式，只需将值代入方程即可。 - S.Lott

@S.Lott 这是3次方程，但是没错。 - user97370

@Paul Hankin：哎呀——由于某种原因，我一直在想每个点的多项式导数。 - S.Lott

Answer 1

如果您仅集成多项式，无需表示一般数学函数，请使用numpy.poly1d，它具有用于集成的integ方法。

>>> import numpy
>>> p = numpy.poly1d([2, 4, 6])
>>> print p
   2
2 x + 4 x + 6
>>> i = p.integ()
>>> i
poly1d([ 0.66666667,  2.        ,  6.        ,  0.        ])
>>> integrand = i(1) - i(0) # Use call notation to evaluate a poly1d
>>> integrand
8.6666666666666661

要集成任意数学函数，您可以使用scipy.integrate和普通Python函数来处理函数。要进行解析式函数的积分，您可以使用sympy。但在这种情况下，似乎您不需要这两者，尤其是后者。

- Mike Graham

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太好了 - 谢谢！这非常有用。所以，对于从0到1计算面积，我可以使用：Area = i(1) - i(0)？ - djq

这将是从0到1的定积分。在这种情况下，这与面积相同，但在某些情况下（其中多项式的一部分或全部为负），它并不相同。 - Mike Graham

Answer 2

Look, Ma, no imports!

>>> coeffs = [2., 4., 6.]
>>> sum(coeff / (i+1) for i, coeff in enumerate(reversed(coeffs)))
8.6666666666666661
>>>

我们的保证：适用于任何正次幂的多项式，否则退款！

我们研究实验室的更新：扩展保证；将“正”改为“非负” :-)

更新：这是工业级版本，能够在系数中存在杂散整数的情况下保持稳定，并且在设置中不使用函数调用循环，也不使用枚举（enumerate()）或反转（reversed()）。

>>> icoeffs = [2, 4, 6]
>>> tot = 0.0
>>> divisor = float(len(icoeffs))
>>> for coeff in icoeffs:
...     tot += coeff / divisor
...     divisor -= 1.0
...
>>> tot
8.6666666666666661
>>>

- John Machin

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+1，好的解决方案（实际上与“integ”实现的几乎相同，我敢肯定）。如果我不是在使用“from future import division”文件中，我会将分母设为“float(i + 1)”。 - Mike Graham

Answer 3

可能使用通用数值积分算法求解您的特定情况有些过头了……如果您能算出代数表达式，就可以得到一个简单的表达式来计算该区间下的面积。

您有一个二次多项式：f(x) = ax² + bx + c 您想要找到x在范围[0,1]内的曲线下的面积。

反函数为：F(x) = ax³/3 + bx²/2 + cx + C 从0到1的曲线下面积为：F(1) - F(0) = a/3 + b/2 + c

所以，如果您只需要计算区间[0,1]下的面积，您可以考虑使用这个简单的表达式，而不是使用通用方法。

- Jim Lewis

Answer 4

在编程中，scipy.integrate 中的'quad'是用于积分单变量函数的通用方法，在一定区间上。在简单情况下（例如在您的问题中描述的情况），您只需传入函数、下限和上限即可。'quad'返回一个由积分结果和误差项的上界组成的元组。

from scipy import integrate as TG

fnx = lambda x: 3*x**2 + 9*x    # some polynomial of degree two
aoc, err = TG.quad(fnx, 0, 1)

[注意：在我发布这篇文章之后，有人在我的回答之前发布了一个使用Numpy中的'poly1d'表示多项式的答案。我的脚本也可以接受这种形式的多项式：]

import numpy as NP

px = NP.poly1d([2,4,6])
aoc, err = TG.quad(px, 0, 1)
# returns (8.6666666666666661, 9.6219328800846896e-14)

- doug

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由于多项式可以被解析积分，因此最好使用更高效的“integ”方法，而不是重复使用高斯积分。 - Mike Graham

Answer 5

如果一开始就要集成二次或三次多项式，除了推导显式积分表达式之外，另一种选择是使用辛普森法则；这是一个深刻的事实，该方法可以精确地集成3次及以下次数的多项式。

借用Mike Graham的例子（我已经有一段时间没有使用Python了；如果代码看起来奇怪，请见谅）：

>>> import numpy
>>> p = numpy.poly1d([2, 4, 6])
>>> print p
   2
2 x + 4 x + 6
>>> integrand = (1 - 0)(p(0) + 4*p((0 + 1)/2) + p(1))/6

使用辛普森法则计算被积函数的值。您可以自行验证该方法是否按照广告所述有效。

当然，我没有简化被积函数的表达式，以表明0和1可以替换为任意值u和v，并且该代码仍将用于查找从u到v的函数的积分。

- user414706

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多好的答案！辛普森法则，它来自微积分，既经得起时间的考验，又非常优雅，无论你是否掌握Python技能。 - Ellie Kesselman