为什么在C语言中，cexp（+无穷大+I *无穷大）= +/-无穷大+I * NaN？

Question

如果我们查看C语言的委员会草案：n1570，特别是关于复杂数学函数行为的Annex G，我们可以看到复指数在无限远处的行为如下：

cexp(+infinity+I*infinity)=+/-infinity+I*NaN
(where the sign of the real part of the result is unspecified).

我的问题是：为什么？

从数学角度来看，如果我们以同样的方式接近实部和虚部的无穷大，极限就是一个复数无穷大（例如，请参见Wolfram Alpha），它对应于无限模和未定义的参数。

此外，如果我们观察cexp函数的行为，它的实部和虚部非常相似（请参见Wolfram Alpha上的三维图形）。

因此，我本来期望：

cexp(+infinity+I*infinity)=+/-infinity+/-I*infinity

替代方案：

cexp(+infinity+I*infinity)=+/-infinity+I*NaN

我知道这背后有很好的理由，但我不明白它的逻辑。有人可以解释一下吗？

编辑：这里是链接的摘要：

- Vincent

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文档《国际标准理由--编程语言--C》的G.5.1部分似乎包含了一些关于处理复杂函数特殊值（包括cexp()）的相关评论。您可以在此处找到它：http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/C99RationaleV5.10.pdf - njuffa

谢谢提供这个链接。它非常有教育意义，但是它并没有回答关于cexp(infinity+I*infinity)的情况。 - Vincent

我所知道的唯一解释标准委员会思考过程的文件是理由文件。除非您能够找到相关的委员会会议记录（我不知道ISO委员会是否提供公开记录），或者可以接触到委员会成员，否则对于为什么标准规定了什么，这个问题将无法得到回答。 - njuffa

Answer 1

动机确实在由njuffa链接的文档中给出，链接如下：http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/C99RationaleV5.10.pdf:

7.3.9.4 函数cproj

复数数学中常用两种拓扑：具有无限多点的复平面和具有单一点无穷远处的黎曼球面。复平面更适合于超越函数，而黎曼球面则更适合于代数函数。复数类型的无限多点提供了一个有用的（尽管不完美）模型，可以帮助建立复平面。 cproj函数通过将所有无限点映射到一个点来模拟黎曼球面，并且应该在任何操作之前（特别是比较）使用，以避免产生其他无限点的虚假结果。

请注意，一个具有一个无穷大部分和一个NaN部分的复数值被认为是无限大，而不是NaN，因为如果一个部分是无穷大，则复数值是无限大的，而与另一部分的值无关。出于相同的原因，如果cabs的参数具有一个无穷大部分和一个NaN部分，则返回无穷大。

G.5.1中也有类似的注释：

...为了支持单无穷大模型，C99将具有至少一个无限部分的任何复数值都视为复数无穷大（即使另一部分是NaN），并保证操作和函数遵守无穷大的基本属性，并提供cproj函数来将所有无穷点映射到一个标准点。

相关搜索术语为“Riemann”，即带有单一无穷处的扩展复平面的数学模型，该模型在Mathematica / Wolfram Alpha中使用，但不是普遍适用于数学。

- oseiskar

Answer 2

NaN的一个原因是没有表示这个无限值“方向”的方法。对于实数，lim a->inf : exp(a) -> + infinity。而有明确定义的方向可以直观地解释为为什么：

1/(+0) = +inf，1.0 / (-0.0) = -inf以及：

1/(+inf) = +0，1/(-inf) = -0

将其扩展到复数平面：cexp([-]inf + b.I) = [-]inf.{cos(b) + I.sin(b)}

即使结果具有无限的大小，仍然有一个方向的概念，例如，如果b = - PI/2 -> cexp(+inf + b.I) = +inf.(-I)

如果 b = [-]inf，那么无穷逼近的方向是不确定的。有无数个方向，并且 cos(b) 和 sin(b) 的值未定义。毫不奇怪，实值函数 cos[f|l] 和 sin[f|l] 如果参数是无穷大，则返回 NaN。

这并不是一个非常正式的答案，恐怕只是对这个想法的"感觉"。我的理解是，还有其他很好的原因来解释这种行为，比如在复分析中使用分支割线。

- Brett Hale