SymPy如何计算圆周率？

Question

sympy用于计算π的数字背景是什么？

我知道SymPy在后台使用mpmath，从而可以使用任意精度算术来执行计算。这样，一些特殊常数，如e、pi、oo，被视为符号，并且可以以任意精度进行评估。

但是Sympy如何确定任意数量的小数位？它是如何进行数值计算的？

- G.Robic

Answer 1

mpmath使用Chudnovsky公式（https://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_algorithm）计算π。

π的近似值由一个无穷级数计算，其项按照(1/151931373056000)^n递减，因此每个项大约增加14.18位数字。这使得可以选择一定数量的项N，以达到所需的精度。

实际计算是使用整数算术完成的：也就是说，对于prec位精度，计算了pi * 2^(prec)的近似值。

以下是代码，从mpmath/libmp/libelefun.py中提取(https://github.com/fredrik-johansson/mpmath/blob/master/mpmath/libmp/libelefun.py):

# Constants in Chudnovsky's series
CHUD_A = MPZ(13591409)
CHUD_B = MPZ(545140134)
CHUD_C = MPZ(640320)
CHUD_D = MPZ(12)

def bs_chudnovsky(a, b, level, verbose):
    """
    Computes the sum from a to b of the series in the Chudnovsky
    formula. Returns g, p, q where p/q is the sum as an exact
    fraction and g is a temporary value used to save work
    for recursive calls.
    """
    if b-a == 1:
        g = MPZ((6*b-5)*(2*b-1)*(6*b-1))
        p = b**3 * CHUD_C**3 // 24
        q = (-1)**b * g * (CHUD_A+CHUD_B*b)
    else:
        if verbose and level < 4:
            print("  binary splitting", a, b)
        mid = (a+b)//2
        g1, p1, q1 = bs_chudnovsky(a, mid, level+1, verbose)
        g2, p2, q2 = bs_chudnovsky(mid, b, level+1, verbose)
        p = p1*p2
        g = g1*g2
        q = q1*p2 + q2*g1
    return g, p, q

@constant_memo
def pi_fixed(prec, verbose=False, verbose_base=None):
    """
    Compute floor(pi * 2**prec) as a big integer.
    This is done using Chudnovsky's series (see comments in
    libelefun.py for details).
    """
    # The Chudnovsky series gives 14.18 digits per term
    N = int(prec/3.3219280948/14.181647462 + 2)
    if verbose:
        print("binary splitting with N =", N)
    g, p, q = bs_chudnovsky(0, N, 0, verbose)
    sqrtC = isqrt_fast(CHUD_C<<(2*prec))
    v = p*CHUD_C*sqrtC//((q+CHUD_A*p)*CHUD_D)
    return v

这只是普通的Python代码，但它依赖于一个额外的函数isqrt_fast()，用于计算大整数的平方根。如果可用，MPZ是所使用的大整数类型：gmpy.fmpz，否则使用Python内置的长整型。 @constant_memo装饰器缓存了计算出的值（在数值计算中经常需要重复使用pi，因此将其存储起来是有意义的）。

你可以看到它通过以下方式进行基数转换来计算pi：

>>> pi_fixed(53) * 10**16 // 2**53
mpz(31415926535897932)

Chudnovsky公式变快的关键技巧被称为“二进制分裂”。无限级数中的项满足具有小系数的递推关系（可以在bs_chudnovsky函数的b-a == 1情况下看到递推方程）。不是按顺序计算这些项，而是将总和重复地分成两半; 两个部分进行递归评估，并组合结果。最后，得到两个大整数p和q，使得级数的前N项之和恰好等于p / q。请注意，在二进制分裂过程中没有舍入误差，这是该算法非常好的特性; 仅在计算平方根并在最后进行除法时发生舍入。

大多数高精度计算pi的快速程序都使用非常相似的策略，尽管还有一些复杂的技巧可以进一步加快进程。

（注：我是代码的作者。）

- Fredrik Johansson