三点间的角度是多少？

Question

三点间的角度是多少？

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给定三个点ABC，如何找到角ABC？我正在制作一个用于矢量绘图应用程序的手绘工具，并且为了最小化生成的点数，除非鼠标位置和上次添加的两个点之间的角度大于某个阈值，否则不会添加点。

int CGlEngineFunctions::GetAngleABC( POINTFLOAT a, POINTFLOAT b, POINTFLOAT c )
{
    POINTFLOAT ab;
    POINTFLOAT ac;

    ab.x = b.x - a.x;
    ab.y = b.y - a.y;

    ac.x = b.x - c.x;
    ac.y = b.y - c.y;

    float dotabac = (ab.x * ab.y + ac.x * ac.y);
    float lenab = sqrt(ab.x * ab.x + ab.y * ab.y);
    float lenac = sqrt(ac.x * ac.x + ac.y * ac.y);

    float dacos = dotabac / lenab / lenac;

    float rslt = acos(dacos);
    float rs = (rslt * 180) / 3.141592;
     RoundNumber(rs);
     return (int)rs;


}

- jmasterx

2

我的情况还不错，我确实有一个算法，但它似乎没有效果。 - jmasterx

5

那么这个问题为什么被认为是“不清楚或无用”的呢？你可能误解了声望的作用。它的目的并不是让你惩罚那些尝试做一些新事情的人。请问需要翻译成中文吗？ - jalf

7个回答

5

以下是一种快速且正确的计算直角值的方法：

double AngleBetweenThreePoints(POINTFLOAT pointA, POINTFLOAT pointB, POINTFLOAT pointC)
{
    float a = pointB.x - pointA.x;
    float b = pointB.y - pointA.y;
    float c = pointB.x - pointC.x;
    float d = pointB.y - pointC.y;

    float atanA = atan2(a, b);
    float atanB = atan2(c, d);

    return atanB - atanA;
}

- Rafał Sroka

1

这将返回[-2*pi ... +2*pi]范围内的答案（2个周期）。 - chux - Reinstate Monica

4

β = arccos((a^2 + c^2 - b^2) / 2ac)

其中，a是α角对面的边长，b是β角对面的边长，c是γ角对面的边长。因此，β就是你所说的ABC角。

- Matthew Flaschen

@MiloпјҡдҪ дёҚз”ЁжӢ…еҝғвҖ”вҖ”д»–жҳҜжҠҠaгҖҒbе’ҢcдҪңдёәзӮ№еҜ№д№Ӣй—ҙзҡ„и·қзҰ»гҖӮ - Jerry Coffin

β的符号怎么样？这种方法无法区分abc和cba。如果这是意图-那没问题，但是真的吗？ - valdo

@valdo，我并不打算保留符号，而且我认为 OP 也不想要（他的角度阈值似乎是基于大小）。然而，你说得对，他应该意识到这一点。 - Matthew Flaschen

4

使用arccos方法是有风险的，因为我们可能会让它的参数等于1.0000001，导致出现EDOMAIN错误。即使使用atan方法也是危险的，因为它涉及到除法，可能会导致除以零错误。最好使用atan2方法，将dx和dy的值传递给它。

- mbaitoff

2

这里是使用OpenCV获取三点（A、B、C）之间角度的方法，其中以B为顶点：

int getAngleABC( cv::Point2d a, cv::Point2d b, cv::Point2d c )
{
    cv::Point2d ab = { b.x - a.x, b.y - a.y };
    cv::Point2d cb = { b.x - c.x, b.y - c.y };

    float dot = (ab.x * cb.x + ab.y * cb.y); // dot product
    float cross = (ab.x * cb.y - ab.y * cb.x); // cross product

    float alpha = atan2(cross, dot);

    return (int) floor(alpha * 180. / M_PI + 0.5);
}

基于 @valdo 的出色解决方案

- Stan James

1

float angba = atan((a.y - b.y) / (a.x - b.x));
float angbc = atan((c.y - b.y) / (c.x - b.y));
float rslt = angba - angbc;
float rs = (rslt * 180) / 3.141592;

- oslvbo

2

使用atan2(dy, dx)比使用atan(dy/dx)更好。 - valdo

1

离题了？但是你可以用余弦定理来解决：

找到A和B之间的距离（称为x），B和C之间的距离（称为y）以及A和C之间的距离（称为z）。

然后，你知道z^2=x^2+y^2-2*xycos(你想要的角度)

因此，那个角度是cos^-1((z^2-x^2-y^2)/(2xy))=角度

- codersarepeople

你在分数中丢失了负号。应该像我的答案一样是 x^2 + y^2 - z^2。 - Matthew Flaschen

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可以查看英文原文，
原文链接

- valdo · Accepted Answer

关于你的方法，以下是建议：

你所称的ac实际上是cb。但没关系，这确实是需要的。接下来，

float dotabac = (ab.x * ab.y + ac.x * ac.y);

这是你的第一个错误。两个向量的真实点积是：

float dotabac = (ab.x * ac.x + ab.y * ac.y);

现在，

float rslt = acos(dacos);

需要注意的是，在计算过程中可能存在一些精度损失，理论上 dacos 可能会变得大于1（或小于-1）。因此，你需要进行显式检查。

另外，性能方面的注意事项：你对两个向量的长度分别调用了一次重量级的 sqrt 函数。然后将点积除以这些长度。相反，你可以对两个向量长度的平方乘积调用一次 sqrt 函数。

最后，需要注意的是你的结果仅在符号上准确。也就是说，你的方法无法区分 20° 和 -20°，因为它们的余弦值相同。你的方法将为 ABC 和 CBA 给出相同的角度。

一种正确的计算角度的方法如 "oslvbo" 所建议：

float angba = atan2(ab.y, ab.x);
float angbc = atan2(cb.y, cb.x);
float rslt = angba - angbc;
float rs = (rslt * 180) / 3.141592;

(我刚刚用 atan2 替换了 atan。)

这是最简单的方法，总是得到正确的结果。这种方法的缺点是你实际上要调用一个复杂的三角函数 atan2 两次。

我建议使用以下方法。它有点更复杂（需要一些三角学技能来理解），但从性能角度来看更优越。它只调用一次三角函数 atan2，而且没有平方根计算。

int CGlEngineFunctions::GetAngleABC( POINTFLOAT a, POINTFLOAT b, POINTFLOAT c )
{
    POINTFLOAT ab = { b.x - a.x, b.y - a.y };
    POINTFLOAT cb = { b.x - c.x, b.y - c.y };

    // dot product  
    float dot = (ab.x * cb.x + ab.y * cb.y);

    // length square of both vectors
    float abSqr = ab.x * ab.x + ab.y * ab.y;
    float cbSqr = cb.x * cb.x + cb.y * cb.y;

    // square of cosine of the needed angle    
    float cosSqr = dot * dot / abSqr / cbSqr;

    // this is a known trigonometric equality:
    // cos(alpha * 2) = [ cos(alpha) ]^2 * 2 - 1
    float cos2 = 2 * cosSqr - 1;

    // Here's the only invocation of the heavy function.
    // It's a good idea to check explicitly if cos2 is within [-1 .. 1] range

    const float pi = 3.141592f;

    float alpha2 =
        (cos2 <= -1) ? pi :
        (cos2 >= 1) ? 0 :
        acosf(cos2);

    float rslt = alpha2 / 2;

    float rs = rslt * 180. / pi;


    // Now revolve the ambiguities.
    // 1. If dot product of two vectors is negative - the angle is definitely
    // above 90 degrees. Still we have no information regarding the sign of the angle.

    // NOTE: This ambiguity is the consequence of our method: calculating the cosine
    // of the double angle. This allows us to get rid of calling sqrt.

    if (dot < 0)
        rs = 180 - rs;

    // 2. Determine the sign. For this we'll use the Determinant of two vectors.

    float det = (ab.x * cb.y - ab.y * cb.y);
    if (det < 0)
        rs = -rs;

    return (int) floor(rs + 0.5);


}

编辑：

最近我在处理一个相关的问题，然后意识到有更好的方法。它实际上在底层上大体相同，但在我看来更加直截了当。

想法是旋转两个向量，使第一个向量与（正）X方向对齐。显然，旋转两个向量不会影响它们之间的角度。另一方面，在这样的旋转之后，只需找出第二个向量相对于X轴的角度即可。这正是 atan2 的作用。

通过将向量乘以以下矩阵来实现旋转：

a.x, a.y
-a.y, a.x

可以看到，向量 a 乘以这样的矩阵确实朝着正的 X 轴旋转。

注意： 严格来说，上述矩阵不仅仅是旋转，它也进行了缩放。但在我们的情况下这没关系，因为唯一重要的是向量方向，而不是其长度。

旋转后的向量 b 变为：

a.x * b.x + a.y * b.y = a 点乘 b
-a.y * b.x + a.x * b.y = a 叉乘 b

最终，答案可以表示为：

int CGlEngineFunctions::GetAngleABC( POINTFLOAT a, POINTFLOAT b, POINTFLOAT c )
{
    POINTFLOAT ab = { b.x - a.x, b.y - a.y };
    POINTFLOAT cb = { b.x - c.x, b.y - c.y };

    float dot = (ab.x * cb.x + ab.y * cb.y); // dot product
    float cross = (ab.x * cb.y - ab.y * cb.x); // cross product

    float alpha = atan2(cross, dot);

    return (int) floor(alpha * 180. / pi + 0.5);
}