一个复数如何在FFT结果中捕获相位、幅度和频率？

Question

我理解fft的结果中实部和虚部捕捉了幅度和相位，但是每个采样点如何捕捉相位呢？

相位是否与时域中提供的N个离散采样有关？

也就是说，如果输入包括44100个采样点一秒钟，则FFT的每个结果值代表1/44100的相位吗？

例如，第一个FFT值在频率1/44100处，第二个值在2/44100处，以此类推？

- steve landiss

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你需要更具体地说明你想要哪个阶段。例如，是哪个阶段？ - hotpaw2

Answer 1

FFT的输出简单地表达了如何从谐波关系的正弦波组成中重构原始波形。

每个输出值表达了相应分量的振幅和相位（即偏移角度）。需要注意的是，每个分量都是一个复杂正弦波（形式为A * exp(j * 2pi * f * n + phi)，而不是A * cos(2pi * f * n + phi)）。

频率隐含在输出样本的索引中；如果采样率为fs（以Hz为单位），并且您有一个长度为N的FFT，则对应于输出样本i的中心频率为i*fs/N（以Hz为单位）。

- Oliver Charlesworth

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fs是以什么表示的？比如说我的采样率为每秒44100个样本，那么fs的值是多少？根据您的解释，我理解在我的例子中N = 44100。那么fs是多少呢？ - steve landiss

@stevelandiss：名义上是赫兹，但实际上它可以是任何频率单位。 - Oliver Charlesworth

Answer 2

我觉得你在问题的某些部分用"相位"时想表达的是"频率"吧？

无论如何，如果你询问的是频率，它的工作方式与“输入”数据中的时间非常相似。您从时间序列数据开始，其中每个数组元素都在不同的时间点上。FFT之后，“输出”类似，但每个元素都是不同的频率。

它们范围从恒定偏移到可能的最高频率，在均匀步骤中，但实际顺序可能取决于您使用的实现。因此，每个复数表示特定频率上的幅度和相位-您可以从输出数组中的位置计算出频率。

如果您有覆盖时间T的N个点，则最高频率为N /（2T），值为1 / T的倍数（包括0Hz-恒定偏移）。例如，60个样本在1分钟内（N = 60 T = 60s）会产生最高频率为0.5Hz。没有更高的频率，因为数据没有被足够采样以清晰地捕获它们（例如，1 Hz信号可能在每个样本上都处于最大值，因此会显示为恒定信号）。这个限制称为奈奎斯特频率。

（假设输出是一个复数数组；通常它是一个浮点/双精度数组，您需要从数组的不同部分拼凑出实数和虚数值的复数 - 这变得有点混乱，但概念相同，就好像您返回了一组复杂数值数组。）

提示：通常当我需要使用某个fft例程时，我会制作一些具有恒定偏移量和两个已知频率正弦波的数据，然后对其进行fft并查看结果。如果使每个分量的幅度不同，则通常很容易看出事物的顺序。您还可以检查比例尺，因为有时会省略2pi的因子...

- andrew cooke

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是的，这就是我所问的，我认为你回答了我的问题。实际上，我有一个复数输出数组，事实上我有N个这样的值，其中N是馈送到FFT的离散时间域样本数。因此，我想知道如何计算每个样本的HZ值。第一个样本在1/4100 HZ处，第二个样本在2/44100 HZ处，以此类推吗？ - steve landiss

你需要阅读例程的文档。你已经有了基本的想法（希望现在一切都清楚了:o），但实际顺序可能因实现而异。哦，还有一个0Hz的值（常量偏移量）。 - andrew cooke

@OliCharlesworth，谢谢。所以如果我弄反了，那么第一个元素就在1HZ处，第N个元素（在我的情况下N=每秒44100个样本）就在1/44100 HZ处？如果是这样，那么如何表示大于1HZ的频率？ - steve landiss

抱歉，我原来想说的是60个样本。谢谢！它以1Hz的采样率进行采样，这就是为什么1Hz信号看起来像一个常量。这就像电影胶片冻结运动一样... - andrew cooke

第一个复杂结果通常是0赫兹（直流），而不是1赫兹。 - hotpaw2

Answer 3

该阶段与输入样本中周期信号分量的时间偏移相关。

以下是如何看待这个问题...

首先，回想一下，快速傅里叶变换（FFT）与离散傅里叶变换（DFT）完全相同，只是计算效率更高。 因此，回到基础知识，我们将变换定义为：

Xk (0 <= k <= N-1) = sum for 0 <= n <= N-1 (xn * e ^ (-j * 2 * π * n * k / N))

其中： xn 是输入样本 Xk 是输出/变换样本 N 是样本数

现在，这个复指数 e ^ (-j * 2 * π * n * k / N) 在 Re / Im 平面上表示圆上的点（半径为1，位于（0,0）处）。 如果您忘记了，请参见Euler's formula。

对于固定值的k（代表输出/变换中感兴趣的特定频率），对于所有n，在这个圆上不超过N/k个不同的点。

再次查看公式中的总和：

sum_{for 0<=n<=N-1}(x_n * e^{-j * 2*π * n * k/N})

在这个总和中，您通过输入信号x_n来缩放从点(0,0)到上述圆上的点的向量。您正在使这些向量变长或变短。然后将它们加起来。

如果恰好x_n包含具有周期为N/k的周期性信号，则该信号的所有最大值都会在圆上的一个点上对齐并相互放大。最小值和信号的所有其他值也有贡献。

简单来说，您在这里做的是将输入 x_n 缠绕在圆上。如果信号中有一个周期性分量，其周期与“周长”（=圆上的点数）相匹配，则由于最大值和最小值的对齐，您会得到该周期/频率的峰值。如果周期不匹配“周长”，则最大值会到处乱跑并互相抵消。这就是傅里叶变换的本质，这也是它如何以及为什么起作用的原因，没有魔法，没有真正复杂的数学，只是将绳子简单地缠绕在卷轴上。

而您在 X_k 中获得的相位仅指示所有最大值对齐的圆上的点。如果将周期性信号在 x_n 中向右或向左移动一个或多个样本，则对齐点也会相应移动，并且相位会相应更改。

这就是几何解释。

现在，您可以将这个相同的东西视为傅里叶变换的数学属性。

如果你有 x_n 和它的变换 X_k=F{x_n}，那么 x_n-m 的变换将会是 F{x_n-m} = F{x_n} * e^{-j * 2*π * k * m/N} = X_k * e^{-j * 2*π * k * m/N}。这被称为移位定理/性质。你应该能够轻松地推导出来。e^{-j * 2*π * k * m/N} 这个因子的幅度为1，只有在乘以 X_k 时才会改变相位。

而相位与频率无关。

此外，您采样信号x_n的最大频率是采样率的一半（实际上，略低于一半，请参见Nyquist采样定理）。这意味着在您的情况下，傅里叶变换将永远不会给出高于或等于22050 Hz的任何信息，因为所有更高频率的信息都已经丢失到采样中。

当k > N/2时，X_k值的一半将给出具有负频率的分量。这是因为在圆上移动点之间的方向反转。因此，尽管输出/变换中有许多样本，但最大频率仍然小于采样率的一半。

- Alexey Frunze

Answer 4

在FFT结果向量中，复数并不能捕获频率。每个包含复数的数组元素的索引捕获了频率倍增器。然后，您需要将索引乘以频率比例因子，该因子与时域样本的采样率以及FFT长度的倒数有关，以获取每个FFT bin的中心频率。

每个FFT结果向量元素所代表的频率正弦波都具有自己独立的相位，不与任何其他bin或数组元素共享。

如果您不知道FFT的长度，则无法确定频率。因此，对于您问题的最后一部分，答案可能是未知或否。

- hotpaw2