Octave：FFT相位谱不正确

Question

我用Octave编写的一个小程序没有得到期望的相位谱。尽管幅度图是完美的。

 f = 200;
 fs = 1000;
 phase = pi/3; 
 t = 0: 1/fs: 1;
 sig = sin((2*pi*f*t) + phase);
 sig_fft = fft(sig);

 sig_fft_phase = angle(sig_fft) * 180/pi;

 sig_fft_phase(201)

sig_fft_phase(201) 返回的是5.998（6度），而不是60度。我做错了什么？我的期望是错误的吗？

- Raj

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这个 -> https://www.mathworks.com/matlabcentral/answers/1139#answer_1625 看起来是同样问题的答案！ - Sardar Usama

Answer 1

在您的示例中，如果您生成频率轴：（抱歉，我这里没有Octave，所以只能使用Python - 我确信在Octave中是相同的）：

faxis = (np.arange(0, t.size) / t.size) * fs

你会发现faxis [200]（Python的索引从0开始，相当于Octave的201索引）为199.80019980019981。你以为你在请求200Hz处的相位，但实际上不是，你在请求199.8 Hz 的相位。

（这是因为你的向量包括1.0-那一个额外的样本略微减少了频谱间距！我认为@Sardar_Usama在他们的评论中发布的链接不正确-它与正弦波没有结束在完整周期无关，因为这种方法应该可以使用不完整的周期解决。)

解决方案：将长度为1001的sig向量填充为2000个样本。然后，使用新的faxis频率向量，faxis[400]（Octave的第401个索引）对应于确切的200Hz:

In [54]: sig_fft = fft.fft(sig, 2000);

In [55]: faxis = np.arange(0, sig_fft.size) / sig_fft.size * fs

In [56]: faxis[400]
Out[56]: 200.0

In [57]: np.angle(sig_fft[400]) * 180 / np.pi
Out[57]: -29.950454729683386

但是，糟糕的是，发生了什么？这里显示的角度是-30°？

好吧，回想一下欧拉公式表明sin(x) = (exp(i * x) - exp(-i * x)) / 2i。分母中的i意味着FFT恢复的相位不会是60°，即使输入正弦波的相位为60°。相反，FFT频率的相位将是60 - 90度，因为-90°=angle(1/i) = angle(-i)。所以这实际上是正确的答案！要恢复正弦波的相位，您需要在FFT频率的相位上加上90°。

因此，总结起来，您需要解决两个问题：

1. 确保你正在查看正确的频率区间。对于一个 N-点FFT（没有 fftshift），区间为 [0 : N - 1] / N * fs。上面，我们只是使用了一个N=2000点的FFT来确保200 Hz被表示。
2. 请注意，尽管你有一个正弦波，但就FFT而言，它会得到两个复指数，在+200和-200 Hz处，并且振幅分别为1 /（2i）和-1 /（2i）。分母中的虚数值将使你期望的相位分别向左偏移90°和向右偏移90°。
   • 如果你刚好使用了余弦波cos作为sig，你就不会遇到这个数学障碍，所以以后要注意sin和cos之间的区别！

- Ahmed Fasih

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如果不是因为出错，今天我不会学到这么多东西。 :-). 顺便说一句，我只是将原程序中的样本数量减少了1个 [0到1-1/fs]，然后得到了-30。这与欧拉推导相匹配。非常感谢。 - Raj

Answer 2

修改为 t=0:1/fs:1-1/fs; 然后

 sig_fft_phase(201)
 ans = -30.000

- parker9