我想生成大小为
事实上，我并不关心它的秩是否为
当处理的集合为实数时，我一直在做以下操作，这对我的需求完全足够：生成大小为
但是如果只做到这一步，然后将其二进制/ 1-5四舍五入，秩就会增加。
还可以通过进行SVD并取前
与此相关的问题，但接受的答案不是“随机”的，另一个答案建议使用SVD，在此处无法使用。
我想到的一个可能性是从集合中制作
（虽然这并不是特别相关，但我正在numpy中进行此操作。）
更新： 我已尝试EMS在评论中提出的方法，使用以下简单实现：
mxn且秩为r的矩阵，其中元素来自指定的有限集，例如{0,1}或{1,2,3,4,5}。在某些非常宽泛的意义上，我希望它们是“随机”的，即我希望从算法中获得各种可能的输出，其分布与具有指定秩的元素集合上的所有矩阵的分布模糊地类似。事实上，我并不关心它的秩是否为
r，只要它接近秩为r的矩阵即可（由弗罗贝尼乌斯范数度量）。当处理的集合为实数时，我一直在做以下操作，这对我的需求完全足够：生成大小为
mxr的矩阵U和大小为nxr的矩阵V，其元素独立采样，例如从Normal(0, 2)中。然后UV'是一个秩为r的mxn矩阵（好吧，小于等于r，但我认为它具有高概率的r）。但是如果只做到这一步，然后将其二进制/ 1-5四舍五入，秩就会增加。
还可以通过进行SVD并取前
r个奇异值来获得矩阵的较低秩近似值。但是，这些值不会位于所需集合中，并且将它们舍入将再次增加秩。与此相关的问题，但接受的答案不是“随机”的，另一个答案建议使用SVD，在此处无法使用。
我想到的一个可能性是从集合中制作
r个线性独立的行向量或列向量，然后通过这些的线性组合来得到矩阵的其余部分。然而，我并不清楚如何以“随机”方式获取线性独立向量，也不清楚在此之后如何以准随机的方式将它们组合起来。（虽然这并不是特别相关，但我正在numpy中进行此操作。）
更新： 我已尝试EMS在评论中提出的方法，使用以下简单实现：
real = np.dot(np.random.normal(0, 1, (10, 3)), np.random.normal(0, 1, (3, 10)))
bin = (real > .5).astype(int)
rank = np.linalg.matrix_rank(bin)
niter = 0
while rank > des_rank:
cand_changes = np.zeros((21, 5))
for n in range(20):
i, j = random.randrange(5), random.randrange(5)
v = 1 - bin[i,j]
x = bin.copy()
x[i, j] = v
x_rank = np.linalg.matrix_rank(x)
cand_changes[n,:] = (i, j, v, x_rank, max((rank + 1e-4) - x_rank, 0))
cand_changes[-1,:] = (0, 0, bin[0,0], rank, 1e-4)
cdf = np.cumsum(cand_changes[:,-1])
cdf /= cdf[-1]
i, j, v, rank, score = cand_changes[np.searchsorted(cdf, random.random()), :]
bin[i, j] = v
niter += 1
if niter % 1000 == 0:
print(niter, rank)
对于小矩阵，它的运行速度很快，但是对于例如10x10的矩阵，它会崩溃--至少在数十万次迭代中似乎会卡在第6或第7个秩。
看起来使用更好（即不那么平坦）的目标函数可能效果更好，但我不知道应该使用什么样的目标函数。
我还尝试了一种简单的拒绝方法来构建矩阵：
def fill_matrix(m, n, r, vals):
assert m >= r and n >= r
trans = False
if m > n: # more columns than rows I think is better
m, n = n, m
trans = True
get_vec = lambda: np.array([random.choice(vals) for i in range(n)])
vecs = []
n_rejects = 0
# fill in r linearly independent rows
while len(vecs) < r:
v = get_vec()
if np.linalg.matrix_rank(np.vstack(vecs + [v])) > len(vecs):
vecs.append(v)
else:
n_rejects += 1
print("have {} independent ({} rejects)".format(r, n_rejects))
# fill in the rest of the dependent rows
while len(vecs) < m:
v = get_vec()
if np.linalg.matrix_rank(np.vstack(vecs + [v])) > len(vecs):
n_rejects += 1
if n_rejects % 1000 == 0:
print(n_rejects)
else:
vecs.append(v)
print("done ({} total rejects)".format(n_rejects))
m = np.vstack(vecs)
return m.T if trans else m
这对于任意秩的10x10二进制矩阵都能正常工作，但不适用于0-4矩阵或秩较低的更大二进制矩阵。 （例如，获取一个15秩的20x20二进制矩阵需要拒绝42,000次；对于10秩的20x20，需要1.2百万次。）
显然，这是因为前r行所张成的空间在这些情况下与样本空间（例如{0,1}^10）相比太小了。
我们希望第一行到第r行张成的空间与有效值集合的交集。因此，我们可以尝试从张成空间中进行采样并寻找有效值，但由于张成空间涉及实数系数，即使我们进行归一化以使得第一个分量在有效集合中，也永远无法找到有效向量。
也许可以将其表述为整数规划问题或其他什么问题吗？
{0,1,2,3,4}（对于我的目的来说完全等效），那么标准基向量e_1，...，e_10就包含在这 5^10 个向量的集合中，因此您必须需要 10 个向量来跨越它。不过，这是个好观点 -- 我应该使用 0..4 而不是 1..5。 - Danica