在平面上进行三维正交投影

Question

我有一个在三维空间中的点P(x,y,z)，还有一个视图平面Ax+By+Cz+d=0，平面上的一个点为E。现在我想将这个三维点投影到该平面上，并得到相对于点E的投影点的二维坐标。

P(x,y,z) = 3d point which i want to project on the plane.
Plane Ax + By + Cz  + d  = 0 , so normal n = (A,B,C)
E(ex,ey,ez) = A point in plane ( eye pos of camera )

我现在正在做的是从点P中获取平面上最近的点，然后将该点减去E。我怀疑这样是否正确？请帮助我。谢谢。

- YAHOOOOO

Answer 1

离平面最近的点位于法线上。因此，定义一个点Q，在该法线方向上与P有一定的偏移量。

Q = P - n*t

然后解出使Q在平面上的t：

dot(Q,n) + d = 0
dot(P-n*t,n) + d = 0
dot(P,n) - t*dot(n,n) = -d
t = (dot(P,n)+d)/dot(n,n)

dot((x1,y1,z1),(x2,y2,z2)) = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2 是一个计算两个三维向量点积的公式。

- Vaughn Cato

---

谢谢 Vaughn，好的，现在我得到了最近的点，但我想将该点相对于 E 进行翻译（所以，现在 E 是原点）。我从 E 中减去了最近点的坐标。这样正确吗？如果您没有正确理解我的问题，请让我知道？ - YAHOOOOO

在你的问题中，你提到想要2D坐标。这需要在平面上建立一个2D坐标系。你说E应该是原点，但是轴呢？ - Vaughn Cato

我实际上想将原始点移动到E，并使该平面成为新的XY平面，以便E和新点具有相同的Z。也许我忽略了什么？如何创建2D坐标系？ - YAHOOOOO

你需要定义一个位于平面上的X轴和Y轴。你可以任意选择其中一个轴，并选择另一个轴使其垂直于第一个轴。 - Vaughn Cato

Answer 2

在平面上，您可以得到一个点，如p0 =（0，0，-d / C）。我假设法线的长度为单位长度。

与n方向相同的p部分是dot（p-n0，n）* n + p0，因此投影是p - dot（p-p0，n）* n。

如果您想要平面上的某些坐标，则必须提供基础/坐标系。例如，两个线性独立的向量跨越平面。这些基向量决定了坐标。

- rocksportrocker