如何获取两个二维向量之间的“逆时针”角度？

Question

我有两个向量，想要得到它们之间的夹角，目前我是用以下公式计算的：

acos(dot(v1.unitVector, v2.unitVector))

这是我得到的结果：

我想要的是绿色角度而不是红色角度，但我不知道应该使用什么公式...

谢谢。

编辑：当向量仍处于某个位置时（例如前两对向量），它没问题，但每当它处于像第三对中那样的配置时，它就不能再给我正确的角度了。

- Pop Flamingo

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这可能取决于您使用的语言/平台。 “红色”答案是否为负？如果是，您可以执行(360 + angle) MOD 360（或2 * PI，如果您的答案以弧度表示）。 - D Stanley

我知道，但如果red_angle为负数，则green_angle = 360 + red_angle = (360 + red_angle) MOD 360。如果你的答案是正数（比如purple_angle），那么(360+purple_angle) MOD 360仍将给出purple_angle。因此，它适用于所有情况（正数或负数）。 - D Stanley

@DStanley 很不幸，它也不起作用！ - Pop Flamingo

这个问题更适合在math.stackexchange.com上询问。 - sid-m

我投票关闭此问题，因为它与编程或软件开发无关，而是与[math.se]有关。 - Pang

Answer 1

使用点积计算时，得到的角度与向量顺序无关，并且取两种可能中较小的一个。

对于您所需的内容，您需要使用复数的参数函数，该函数由atan2函数实现。从a = ax + i * ay到b = bx + i * by的角度是a共轭乘以b的参数（将b按a的角度向后旋转，不考虑比例），在坐标系中为：

(ax-i*ay) * (bx+i*by) = ax*bx+ay*by + i*(ax*by-ay*bx)

所以这个角度是：

atan2( ax*by-ay*bx, ax*bx+ay*by ).

- Lutz Lehmann

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非常感谢！ - Pop Flamingo

这段代码仅适用于2D环境...在3D环境中，您必须投影到公共平面或使用acos +点积，然后构造旋转向量进行CW / CCW检查并根据需要纠正结果角度。 - Spektre

在搜寻了许多资料后，这是唯一一个解释得非常清楚的答案。 - palapapa

如果逆时针角度大于180度，则会返回负角度。为了得到0~360度的结果，如果结果为负数，则将结果加上360度。 - palapapa

这在其他答案中已经广泛讨论过了，我们在此处添加信息也不会有任何收获。 - Lutz Lehmann

Answer 2

除了接受的答案之外，atan2 的问题在于，如果你想象向量 a 是静态的，而向量 b 逆时针旋转，你会看到返回值从 0 到 π 变化，但突然变为负数并从 -π 到 0 进行，如果你对一个从 0 到 2π 增加的角度感兴趣，这不是很好。

为了解决这个问题，下面的函数方便地将结果从 atan2 映射，并返回一个值，该值在 0 到 2π 之间，正如人们所期望的那样：

const TAU = Math.PI * 2;

/**
 * Gives the angle in radians from vector a to vector b in anticlockwise direction, 
 * ranging from 0 to 2π.
 * 
 * @param {Vector} a
 * @param {Vector} b
 * @returns {Number}
 */
static angle(a, b) {
    let angle = Math.atan2(a.x * b.y - a.y * b.x, a.x * b.x + a.y * b.y);
    if (angle < 0) {
        angle += TAU;
    }
    return angle;
}

这个项目使用JavaScript编写，但是可以轻松移植到其他编程语言中。

- Lucio Paiva

Answer 3

Lutz已经正确回答了这个问题，但是我强烈建议基于几何代数来编写现代向量数学代码，这将极大地提高抽象级别。

使用GA，您只需将两个向量U和V相乘即可获得一个旋转子。旋转子在内部看起来像A + Bxy，其中A = U点乘V = |U|V|cos(angle)，Bxy = U楔积V = |U||V|sin(angle)xy（这等同于复数）。然后，您可以返回旋转子的有符号逆时针角度，即atan2(B，A)。

因此，通过运算符重载，您只需键入（u * v）.Angle。最终计算结果相同，但您所思考和工作的抽象级别要高得多。

- Elliott Prechter

Answer 4

也许这个更加适合：

atan2( ax*by-ay*bx, ax*bx+ay*by ) % (PI*2)

计算可以得到完整逆时针弧度的值。

- fanjieqi

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当值为负数时，%（欧几里得模）无法正常工作，您需要执行以下操作：((angle % tau) + tau) % tau，其中tau为2 * pi。 - Tim Rutter