如何确定半球体的点x-y-z坐标？

Question

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我遇到了一个严重的问题，需要解决下面图片中所示的问题。假设我们在三维空间中有3个点（蓝色点），以及基于它们的三角形某个中心点（红色点P）。我们还有一个法线，以便我们知道我们正在谈论哪个半空间。

我需要确定一个点的位置（红色???点），该位置取决于两个角度，都在0-180度范围内。不管alfa=0和betha=0角度如何"锚定"，只要能够扫描整个半球体（半径为r）即可。

如果有人能帮助我，我会非常感激。

敬礼， Rav

- emesx

2个回答

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你需要在三角形所在平面中找到两个单位长度的正交向量L和M，以及单位法向量N。球面上的点为：

r*cos(beta)*cos(alpha) * L + r*cos(beta)*sin(alpha)*M + r*sin(beta)*N

- dmuir

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可以查看英文原文，
原文链接

- antonakos · Accepted Answer

从图纸上看，球面上点的位置似乎由一种球坐标形式给出。设r为球的半径；设与x轴夹角为alpha；与x-y平面夹角为beta。点在球面上的笛卡尔坐标是：

x = r * cos(beta) * cos(alpha)
y = r * cos(beta) * sin(alpha)
z = r * sin(beta)

编辑

但对于以坐标轴(L, M, N)为中心的一般坐标系，其坐标如下（与dmuir的答案相同）：

(x, y, z) = 
   (X, Y, Z) 
   + r * cos(beta) * cos(alpha) * L 
   + r * cos(beta) * sin(alpha) * M 
   + r * sin(beta) * N

轴 L 和 N 必须正交，且 M = cross(N, L)。给定相对于 L 的 alpha，并且给定相对于 L-M 平面的 beta。如果您不知道如何将 L 与三角形的点相关联，则无法回答该问题。