使用Python进行傅里叶变换

Question

我正在尝试使用Python进行傅里叶变换。

有一个很好的库numpy，其中有函数fft，根据文档，它应该接收一系列点并返回它们的傅里叶变换。

现在我试图让它工作-但它看起来不对...

我创建了一个简单的1Hz正弦波，振幅=1。 我用8Hz（即8个样本）对其进行采样

这些是样本：

[0,0.707,1,0.707,0,-0.707,-1,-0.707]

现在我期望得到[0,4,0,0,0,0,0,4]或[0,8,0,0]，表示频率为1Hz（取决于是否按照奈奎斯特极限所需进行修剪）。

但实际上我得到了以下结果：

[0.00000000e+00+0.00000000e+00j, -2.22044605e-16-3.99969798e+00j,
 0.00000000e+00+0.00000000e+00j, -2.22044605e-16+3.02022804e-04j,
 0.00000000e+00+0.00000000e+00j,  2.22044605e-16-3.02022804e-04j,
 0.00000000e+00+0.00000000e+00j,  2.22044605e-16+3.99969798e+00j]

这是我的代码：

import numpy
signal = numpy.array([0,0.707,1,0.707,0,-0.707,-1,-0.707], dtype=float)
f =  numpy.fft.fft(signal)
print (f)

为什么我会得到这个结果？我做错了什么吗？

- dog scotter

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尝试使用余弦函数而不是正弦函数。 - Oliver Charlesworth

这些是样本：[0,0.707,1,0.707,0,-0.707,-1,-0.707]。如果您将“0.707”替换为更精确的值“np.sqrt(2)/2”，则可以显著减少数值噪声。 - Warren Weckesser

出于好奇，为什么这会帮助OP呢？ - tel

@OliverCharlesworth 说得有道理，谢谢。这个问题对物理201课程来说是一个很好的复习。 - tel

可能是Proving Fourier transform operation in Python的重复问题。 - Cris Luengo

Answer 1

傅里叶变换的输出

numpy.fft.fft（以及其他所有傅里叶变换方法）的输出具有复杂值。此输出编码了输入中每个频率分量的振幅和相位移信息。您在输出中获得的复数是正确的。

如何从fft.fft的输出获取频谱

从您的示例中，您似乎正在尝试获取的输出实际上是频谱（技术上称为能量谱密度）。您可以通过仅对numpy.fft.fft返回的结果取绝对值来计算此值：

import numpy
signal = numpy.array([0,0.707,1,0.707,0,-0.707,-1,-0.707], dtype=float)
f =  numpy.fft.fft(signal)
print(np.abs(f))

输出：

[0.00000000e+00 3.99969798e+00 0.00000000e+00 3.02022804e-04
 0.00000000e+00 3.02022804e-04 0.00000000e+00 3.99969798e+00]

这正是您所期望的，但存在一定的数值误差。

根据Warren Weckesser的评论，您可以通过使用“实际”值2 ** .5 / 2代替简写的 .707 来减少数值误差：

signal = numpy.array([0, 2**.5/2, 1, 2**.5/2, 0, -2**.5/2, -1, -2**.5/2])
f =  numpy.fft.fft(signal)
print(np.abs(f))

输出：

[0.00000000e+00 4.00000000e+00 0.00000000e+00 2.22044605e-16
 0.00000000e+00 2.22044605e-16 0.00000000e+00 4.00000000e+00]

复数的绝对值是它的大小。根据傅里叶变换百科所述：

在某一点处的傅里叶变换的大小表示频率内容的多少。

- tel

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取绝对值表面上解决了问题，但是不正确，也不能推广到其他输入函数。问题在于OP错误地期望输入信号的原点（以及输出）。请参见建议的重复问题。 - Cris Luengo