你的似然函数是高斯分布概率密度函数对数和的总和。
它表示的是拟合残差mu和sigma的可能性，而不是模型给定数据的可能性。简单来说，你的方法是错误的。
由于你在进行非线性最小二乘，所以按照@usethedeathstar提到的，你应该直接采用F检验。考虑下面的例子（修改自http://www.walkingrandomly.com/?p=5254），我们使用R进行F检验。最后我们将讨论如何将其翻译成python。
> xdata = c(-2,-1.64,-1.33,-0.7,0,0.45,1.2,1.64,2.32,2.9)
> ydata = c(0.699369,0.700462,0.695354,1.03905,1.97389,2.41143,1.91091,0.919576,-0.730975,-1.42001)
> p1 = 1
> p2 = 0.2
> p3 = 0.01
> fit1 = nls(ydata ~ p1*cos(p2*xdata) + p2*sin(p1*xdata), start=list(p1=p1,p2=p2))
> fit2 = nls(ydata ~ p1*cos(p2*xdata) + p2*sin(p1*xdata)+p3*xdata, start=list(p1=p1,p2=p2,p3=p3))
> summary(fit1)
Formula: ydata ~ p1 * cos(p2 * xdata) + p2 * sin(p1 * xdata)
Parameters:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
p1 1.881851 0.027430 68.61 2.27e-12 ***
p2 0.700230 0.009153 76.51 9.50e-13 ***
---
Signif. codes: 0 ?**?0.001 ?*?0.01 ??0.05 ??0.1 ??1
Residual standard error: 0.08202 on 8 degrees of freedom
Number of iterations to convergence: 7
Achieved convergence tolerance: 2.189e-06
> summary(fit2)
Formula: ydata ~ p1 * cos(p2 * xdata) + p2 * sin(p1 * xdata) + p3 * xdata
Parameters:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
p1 1.90108 0.03520 54.002 1.96e-10 ***
p2 0.70657 0.01167 60.528 8.82e-11 ***
p3 0.02029 0.02166 0.937 0.38
---
Signif. codes: 0 ?**?0.001 ?*?0.01 ??0.05 ??0.1 ??1
Residual standard error: 0.08243 on 7 degrees of freedom
Number of iterations to convergence: 9
Achieved convergence tolerance: 2.476e-06
> anova(fit2, fit1)
Analysis of Variance Table
Model 1: ydata ~ p1 * cos(p2 * xdata) + p2 * sin(p1 * xdata) + p3 * xdata
Model 2: ydata ~ p1 * cos(p2 * xdata) + p2 * sin(p1 * xdata)
Res.Df Res.Sum Sq Df Sum Sq F value Pr(>F)
1 7 0.047565
2 8 0.053813 -1 -0.0062473 0.9194 0.3696
这里有两个模型，fit1有2个参数，因此残差自由度为8; fit2有一个额外的参数，残差自由度为7。第二个模型是否更好？不是的，F值为0.9194，在(1,7)自由度上不显著。
要得到ANOVA表：残差自由度很容易算出，残差平方和：0.08202*0.08202*8=0.05381 和 0.08243*0.08243*7=0.04756293（注意：'Residual standard error: 0.08243 on 7 degrees of freedom'等）。在python中，您可以通过(y_observed-y_fitted)**2来获得它，因为scipy.optimize.curve_fit()不返回残差。
F-ratio是0.0062473/0.047565*7，而P值可通过1-scipy.stats.f.cdf(0.9194, 1, 7)获得。
将它们放在一起，我们有python等效代码：
In [1]:
import scipy.optimize as so
import scipy.stats as ss
xdata = np.array([-2,-1.64,-1.33,-0.7,0,0.45,1.2,1.64,2.32,2.9])
ydata = np.array([0.699369,0.700462,0.695354,1.03905,1.97389,2.41143,1.91091,0.919576,-0.730975,-1.42001])
def model0(x,p1,p2):
return p1*np.cos(p2*x) + p2*np.sin(p1*x)
def model1(x,p1,p2,p3):
return p1*np.cos(p2*x) + p2*np.sin(p1*x)+p3*x
p1, p2, p3 = 1, 0.2, 0.01
fit0=so.curve_fit(model0, xdata, ydata, p0=(p1,p2))[0]
fit1=so.curve_fit(model1, xdata, ydata, p0=(p1,p2,p3))[0]
yfit0=model0(xdata, fit0[0], fit0[1])
yfit1=model1(xdata, fit1[0], fit1[1], fit1[2])
ssq0=((yfit0-ydata)**2).sum()
ssq1=((yfit1-ydata)**2).sum()
df=len(xdata)-3
f_ratio=(ssq0-ssq1)/(ssq1/df)
p=1-ss.f.cdf(f_ratio, 1, df)
In [2]:
print f_ratio, p
0.919387419515 0.369574503394
正如@usethedeathstar所指出的那样：当残差服从正态分布时，非线性最小二乘法就是最大似然估计。因此F检验和似然比检验是等价的。因为F值是似然比λ的单调转换。
或者用描述性的方式来说，参见：
http://www.stata.com/support/faqs/statistics/chi-squared-and-f-distributions/。
