从对角线计算垂直偏移量

Question

我正在编写一个音乐显示程序，需要在两个音符之间画一条“连线”。 要清楚起见，“连线”是连接两个音符的曲线。

我知道音符的位置，并计算出曲线的起点A和终点B。

现在，我需要获取偏移量C，给定所需距离，以在二次曲线中使用。 这就是我的数学公式极其有限的知识和理解的地方。

我确实在这里查找答案，但提出的解决方案要么不起作用，要么我无法正确编码它们。

有人能以非数学形式帮助我进行计算吗？

- Simon

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抛物线的确切高度是否有影响？ - PandaBearSoup

你想要一条抛物线，通过A、B两点并在C点拐点处达到峰值吗？那么C点的高度是多少？ - arynaq

@PandaBearSoup - 抛物线的高度将取决于音符之间的距离，它们不一定是相邻的。 - Simon

相关：计算位于一条直线上的N个不同点。 - legends2k

Answer 1

给定线段AB，你可以使用著名的中点公式(A + B)/2找到中点M。现在计算从B到A的向量: p = <p.x, p.y> = A ‒ B 将其绕原点逆时针旋转90°以得到垂直向量 n = <n.x, n.y> = < ‒ p.y, p.x >

归一化它: n = <n.x, n.y> / ‖n‖其中 ‖n‖= √(n.x² + n.y²) 为欧几里得范数或长度 C = L(t) = M + t n 使用这个方程-参数形式的线性方程-你可以找到垂直线上的任意数量的点(沿着n的方向)。t是所得点C与M之间的距离。当t = 0时，你会得到M，当t = 1时，你会得到一个距离M沿n 1单位的点等等。这也适用于t的负值，其中获得的点将位于AB的相反侧，即朝向备注。由于t可以是一个小数，你可以通过改变它的值来得到所需的距离和方向从M获得的点。

代码，因为你说你对数学术语不感兴趣 ;)

vec2d calculate_perp_point(vec2d A, vec2d B, float distance)
{
   vec2d M = (A + B) / 2;
   vec2d p = A - B;
   vec2d n = (-p.y, p.x);
   int norm_length = sqrt((n.x * n.x) + (n.y * n.y));
   n.x /= norm_length;
   n.y /= norm_length;
   return (M + (distance * n));
}

由于我不确定您的项目中使用的向量数学库，因此这只是伪代码。

上面的粗体变量是二维向量；大写字母表示点，小写字母表示没有位置的向量

- legends2k

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感谢您的时间@legends2k。如果我理解正确，对vec2d对象执行的每个操作都会等同地应用于x和y值？ - Simon

@Simon：是的，当你看到 p = B - A 时，它实际上意味着 (p.x, p.y) = (B.x - A.x, B.y - A.y)，而像 distance * n 这样的标量和向量的操作实际上是 (distance * n.x, distance * n.y)。很高兴能帮忙 :) - legends2k

还有一个问题，您能告诉我如何调整它以使三次贝塞尔曲线具有两个控制点吗？我应该开另一个问题吗？ - Simon

@Simon：所以C1可以是M1 + t n，C2可以是M2 + t n；而不是M = (A + B) / 2，它是A和B之间的中点，M1和M2可能是A和B之间的四分之一和四分之三，即M1 = .75 B + .25 A和M2 = .25B + .75A。通常，可以使用公式M = (1 - t) B + tA来获得沿着A和B的任何点，其中t是从B的距离。 - legends2k

让我们在聊天中继续这个讨论：http://chat.stackoverflow.com/rooms/32091/discussion-between-simon-and-legends2k - Simon

Answer 2

我参考了legends2k的出色回答，并在Android上将其转换为Java。这可能会帮助某些人节省时间。

private PointF getPerpendicularPoint(int startX, int startY, int stopX, int stopY, float distance)
{
    PointF M = new PointF((startX + stopX) / 2, (startY + stopY) / 2);
    PointF p = new PointF(startX - stopX, startY - stopY);
    PointF n = new PointF(-p.y, p.x);
    int norm_length = (int) Math.sqrt((n.x * n.x) + (n.y * n.y));
    n.x /= norm_length;
    n.y /= norm_length;
    return new PointF(M.x + (distance * n.x), M.y + (distance * n.y));
}

- David Boyd

Answer 3

这是一个Swift版本：

func pointNormalToLine(startPoint: CGPoint, endPoint: CGPoint, distance: CGFloat) -> CGPoint {

    let midpoint = CGPoint(x: (startPoint.x + endPoint.x) / 2, y: (startPoint.y + endPoint.y) / 2)
    let p = CGPoint(x: startPoint.x - endPoint.x, y: startPoint.y - endPoint.y)
    var n = CGPoint(x: -p.y, y: p.x)
    let norm_length = sqrt((n.x * n.x) + (n.y * n.y))
    n.x /= norm_length
    n.y /= norm_length
    return CGPoint(x: midpoint.x + (distance * n.x), y: midpoint.y + (distance * n.y))
}

- John Cromie