boost::math::erf算法

Question

boost::math::erf算法

c++mathboostdistributionnumerical-methods

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有没有关于Boost的erf函数背后算法的详细信息？该模块的文档并不是很精确。我发现有多种方法被混合使用，但是具体是什么我并不确定。对我来说，它看起来像是Abramowitz和Stegun的变化。

哪些方法被混合使用了？
这些方法是如何混合使用的？
erf函数的复杂度是什么（常数时间）？

Sebastian

- Euphoriewelle

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- TemplateRex · Accepted Answer

Boost Math Toolkit 的文档中有一个很长的参考文献列表，其中包括 Abramowitz 和 Stegun。erf-function 接口包含一个 policy 模板参数，可用于控制数值精度（因此影响其运行时复杂度）。

#include <boost/math/special_functions/erf.hpp>
namespace boost{ namespace math{

template <class T>
calculated-result-type erf(T z);

template <class T, class Policy>
calculated-result-type erf(T z, const Policy&);

template <class T>
calculated-result-type erfc(T z);

template <class T, class Policy>
calculated-result-type erfc(T z, const Policy&);

}} // namespaces

更新:

以下是早期提供的误差函数参考文献中“实现”部分的逐字复制:

实现

所有这些函数的版本都首先使用通常的反射公式使它们的参数为正:

erf(-z) = 1 - erf(z);

erfc(-z) = 2 - erfc(z);  // preferred when -z < -0.5

erfc(-z) = 1 + erf(z);   // preferred when -0.5 <= -z < 0

这些函数的通用版本是基于不完全伽玛函数实现的。

当识别到有效数字（尾数）大小时（目前适用于53、64和113位实数，以及通过提升为双精度处理的单精度24位），则使用JM设计的一系列有理逼近。

对于z <= 0.5，则使用erf的有理逼近，基于erf是奇函数的观察结果，因此使用以下公式计算erf：

erf(z) = z * (C + R(z*z));

针对绝对误差进行优化的有理近似R(z*z)，只要其绝对误差与常数C相比足够小，那么在计算R(z*z)时产生的任何舍入误差都将有效地从结果中消失。因此，在这个区域内erf和erfc的误差非常低：最后一位在极少数情况下不正确。

对于z > 0.5，我们观察到在一个小区间[a, b)内：

erfc(z) * exp(z*z) * z ~ c

针对某个常数c，因此当z > 0.5时，我们使用以下方法计算erfc:

erfc(z) = exp(-z*z) * (C + R(z - B)) / z;

再次强调，R(z - B)的优化目标是绝对误差，常数C是在范围端点处计算erfc(z) * exp(z*z) * z的平均值。只要R(z - B)的绝对误差与c相比很小，那么c + R(z - B)就会被正确地舍入，结果的误差仅取决于exp函数的准确性。在实践中，除了极少数情况外，误差都限制在结果的最后一位。常数B的选择使得有理逼近的左端点为0。

对于大范围[a, +∞]内的大z，上述逼近将被修改为：

erfc(z) = exp(-z*z) * (C + R(1 / z)) / z;

理性逼近在非常详细地解释。如果您需要更多细节，您可以查看源代码。