如何使用4D转子。

Question

我正在尝试创建一个类似于Miegakure的4D环境。

我在理解如何表示旋转方面遇到了困难。Miegakure的创作者写了一篇小文章，解释了他是如何创建一个用于4D旋转的类的。 http://marctenbosch.com/news/2011/05/4d-rotations-and-the-4d-equivalent-of-quaternions/ 我该如何实现这个类的函数？特别是旋转向量和其他旋转体以及获取逆的函数？

我会很感激一些伪代码示例。

非常感谢任何愿意回答的人。

- Azorlogh

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他不是已经提供了实现吗？ - meowgoesthedog

@spug 我没有看到任何...那些只是标题，但我懒得去挖掘那里的档案... - Spektre

Answer 1

在计算机中，表示几何代数多重向量（包括旋子）最常见的方法是通过系数数组，每个规范形式代数基元素（规范基元刀片）对应一个系数。例如，在4D基空间中，您将拥有一个2 ^ 4维代数，并具有2 ^ 4维系数数组。另一种但可能更快的表示它们的方式是使用动态调整大小的列表，每个元素包含一个刀片的索引和相关刀片的系数。在这种情况下，两个多重向量的乘法仅使用非零基础刀片，因此应该在算法上更便宜且内存使用较少。

就实际使用而言，我发现用Python玩转几何代数的最简单方法可能是使用https://github.com/pygae/clifford。完全声明，我每天都使用这个库并广泛贡献于它。这个库使用系数的平坦数组方法。使用这个Python库，您可以通过三明治积分应用4D旋子，并通过波浪操作符进行反演（旋子的倒置）：

# Create a 4D geometric algebra with euclidean metric
from clifford.g4 import *

# Create a rotor
R = layout.randomRotor()

# Create a vector to rotate
V = layout.randomV()

# Apply the rotor to the vector
V2 = R*V*~R

在Chris Doran和Anthony Lasenby的《物理学家的几何代数》第四章中可以找到来自N维几何代数的多向量的几何积和反转的具体定义。

Leo Dorst的书《物理学家的几何代数》或他的网站http://www.geometricalgebra.net/code.html 中可以找到使用元素列表方法的N维GA的良好C++ GA参考实现。总的来说，这是GA的一个很好的资源，特别是共形模型和数字实现及其相关问题。

- Hugo Hadfield

Answer 2

我在学习更多关于几何代数的内容后，通过这个Youtube系列视频成功地使用了转子： https://www.youtube.com/watch?v=PNlgMPzj-7Q&list=PLpzmRsG7u_gqaTo_vEseQ7U8KFvtiJY4K。该系列视频解释得非常好，我向所有希望使用几何代数的人推荐。

如果你已经了解四元数乘法，那么转子乘法就不会有任何不同，而四元数的 i、j、k 单位则类似于几何代数的基双矢量：e12、e13、e23（或 e01、e02、e12）。

因此，4D中的转子将是（A + B*e12 + C*e13 + D*e14 + E*e23 + F*e24 + G*e34 + H*e1234）。

可以在此页面上找到一个表格，展示如何相乘这些单位：http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/clifford/d4/arithmetic/index.htm。

为了理解它，考虑2D转子。

它们的形式为：R = A + B*e12

现在，如果我们计算两个任意转子 R_1 和 R_2 之间的乘积，我们得到：

R_1*R_2 = (
  R_1.a     * R_2.a
+ R_1.a     * R_2.b*e12
+ R_1.b*e12 * R_2.a
+ R_1.b*e12 * R_2.b*e12 )
// but: e12*e12 = e1e2e1e2 = -e1e2e2e1= -e1e1 = -1
// this is confirmed by the computation rules I linked above
=
( (R_1.a * R_1.a - R_2.b * R_2.b)
+ (R_1.a * R_2.b + R_1.b * R_2.a) * e12 )

所以在代码中，你需要做以下操作：

R_3.a = R_1.a * R_2.a - R_1.b * R_2.b
R_3.b = R_1.a * R_2.b + R_1.b * R_2.a

现在只需要用同样的方法处理那些大型的四维转子，并应用上述链接中与四维相关的乘法规则即可。以下是处理结果的代码（使用 e0、e1、e2、e3 作为基向量）：

e: self.e*other.e - self.e01*other.e01 - self.e02*other.e02 - self.e03*other.e03 - self.e12*other.e12 - self.e13*other.e13 - self.e23*other.e23 + self.e0123*other.e0123,
e01: self.e*other.e01 + self.e01*other.e - self.e02*other.e12 - self.e03*other.e13 + self.e12*other.e02 + self.e13*other.e03 - self.e23*other.e0123 - self.e0123*other.e23,
e02: self.e*other.e02 + self.e01*other.e12 + self.e02*other.e - self.e03*other.e23 - self.e12*other.e01 + self.e13*other.e0123 + self.e23*other.e03 + self.e0123*other.e13,
e03: self.e*other.e03 + self.e01*other.e13 + self.e02*other.e23 + self.e03*other.e - self.e12*other.e0123 - self.e13*other.e01 - self.e23*other.e02 - self.e0123*other.e12,
e12: self.e*other.e12 - self.e01*other.e02 + self.e02*other.e01 - self.e03*other.e0123 + self.e12*other.e - self.e13*other.e23 + self.e23*other.e13 - self.e0123*other.e03,
e13: self.e*other.e13 - self.e01*other.e03 + self.e02*other.e0123 + self.e03*other.e01 + self.e12*other.e23 + self.e13*other.e - self.e23*other.e12 + self.e0123*other.e02,
e23: self.e*other.e23 - self.e01*other.e0123 - self.e02*other.e03 + self.e03*other.e02 - self.e12*other.e13 + self.e13*other.e12 + self.e23*other.e - self.e0123*other.e01,
e0123: self.e*other.e0123 + self.e01*other.e23 - self.e02*other.e13 + self.e03*other.e12 + self.e12*other.e03 - self.e13*other.e02 + self.e23*other.e01 + self.e0123*other.e,

- Azorlogh

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你能在回答中提供一个关于这个转子的数值例子吗？ - Jocer

如果你将这与简单的矩阵乘法数学进行比较，你会发现几何代数更加复杂，不太适合现今的计算系统，这也是我使用齐次矩阵的原因之一（它们更简单，对于ND甚至更快，并且可以堆叠更多的旋转...）。这也是为什么它通常在大多数3D图形引擎和库中本地化（如OpneGL，DirectX等），而不是几何代数的原因。 - Spektre

Answer 3

解决绕任意向量旋转在4D下会让你发疯。是的，有一些方程可以解决这个问题，比如3D旋转的欧拉-罗德里格斯公式扩展到4D, 但所有方程都需要解决方程组，而且对于我们在4D中使用起来真的不直观。

我正在使用平行于平面的旋转（类似于3D中围绕主轴的旋转）。在4D中有6个主轴（XY、YZ、ZX、XW、YW、ZW），所以只需创建旋转矩阵（类似于3D）。我在4D中使用5x5齐次变换矩阵，因此旋转看起来像这样：

xy: 
( c , s ,0.0,0.0,0.0)
(-s , c ,0.0,0.0,0.0)
(0.0,0.0,1.0,0.0,0.0)
(0.0,0.0,0.0,1.0,0.0)
(0.0,0.0,0.0,0.0,1.0)
yz: 
(1.0,0.0,0.0,0.0,0.0)
(0.0, c , s ,0.0,0.0)
(0.0,-s , c ,0.0,0.0)
(0.0,0.0,0.0,1.0,0.0)
(0.0,0.0,0.0,0.0,1.0)
zx:
( c ,0.0,-s ,0.0,0.0)
(0.0,1.0,0.0,0.0,0.0)
( s ,0.0, c ,0.0,0.0)
(0.0,0.0,0.0,1.0,0.0)
(0.0,0.0,0.0,0.0,1.0)
xw:
( c ,0.0,0.0, s ,0.0)
(0.0,1.0,0.0,0.0,0.0)
(0.0,0.0,1.0,0.0,0.0)
(-s ,0.0,0.0, c ,0.0)
(0.0,0.0,0.0,0.0,1.0)
yw:
(1.0,0.0,0.0,0.0,0.0)
(0.0, c ,0.0,-s ,0.0)
(0.0,0.0,1.0,0.0,0.0)
(0.0, s ,0.0, c ,0.0)
(0.0,0.0,0.0,0.0,1.0)
zw:
(1.0,0.0,0.0,0.0,0.0)
(0.0,1.0,0.0,0.0,0.0)
(0.0,0.0, c ,-s ,0.0)
(0.0,0.0, s , c ,0.0)
(0.0,0.0,0.0,0.0,1.0)

其中c=cos(a),s=sin(a)，a是旋转角度。旋转轴通过坐标系原点(0,0,0,0)。更多信息请参见以下内容：

• 理解4x4齐次变换矩阵我的3D数学
• 4D渲染技术我的C++ 4D渲染
• 在OpenGL中可视化4D对象旧的Q&A
• 4D到3D透视投影旧的Q&A
• 四维物体的四维可视化这是我发现的关于这个主题最全面的东西一定要读它 !!!

- Spektre

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有任何想法负号出现在哪里吗？一个描述AB（i，j）的一般公式的链接（其中A、B是XYZW之一）会很好。我想知道符号是否基于旋转的某种右手性而被捕获。如果是这样，在4D中如何定义呢？ - DolphinDream

@DolphinDream 不确定你所说的 AB(i,j) 和减号是什么意思（因为评论中两者都只是4D向量）？如果你指的是 matrix * vector，那么你提到的减号是什么意思？如果 -s=-sin(dangle) 那么是的，它决定了顺时针/逆时针旋转。你可以使用旋转和未旋转向量的点积符号来确定旋转方向。如果你在写 欧拉-罗德里格斯公式，那么没有直接的公式，而是需要在运行时为每个旋转解决一组方程。这就是为什么使用增量平面旋转更好/更容易实现的原因。 - Spektre