四元数和欧拉角的比较

Question

你好
“四元数”和“欧拉角”方法各有什么优点和缺点？
- 哪个更快？
- 哪个需要更少的计算量？
- 哪个更准确（在舍入误差方面）？

- mrbm

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个人而言，我更喜欢使用矩阵。 - David Heffernan

我自己找到了这个链接：http://biomch-l.isbweb.org/threads/11415-Summary-Quaternions-vs.-Euler-angles，但它有些晦涩。 - mrbm

@David 四元数表示为矩阵。 - Ross

谢谢大家，哪一个更准确（四舍五入误差）？我认为四元数更快更准确，那么为什么有人会使用欧拉角呢？ - mrbm

@mrbm 可能是。但不要让它的“三维复数”解释让你感到困惑。就按原样处理吧。除了乘以正弦和余弦之外，它只是旋转轴和角度的另一种表示方式，但以更高效的方式（通过编码的正弦/余弦）来促进快速乘法和矩阵转换。 - Christian Rau

Answer 1

欧拉角更容易被人理解，也适合将旋转分解为独立自由度（例如运动关节等），但缺点是存在歧义和万向节锁定。在实践中，我更喜欢四元数，因为它们更容易计算（对于计算机而言，不是对于人类）且更高效。旋转欧拉角需要进行三次旋转并将它们相乘，而四元数只需要进行一次旋转，并且已经编码了正弦和余弦，所以从四元数到矩阵的转换非常高效。

- Christian Rau

Answer 2

四元数避免万向节锁定。更多信息在此处。

- YXD

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谢谢您提供的链接，看起来很有用，我会去看看的。 - mrbm

我可以确认这一点。在分子物理模拟中使用四元数，万向锁是使用它们的主要原因。这使得一个数值问题变少了。 - Ross

Answer 3

从Christian Rau的回答中进一步扩展一下:

Euler角度规范存在歧义：哪个角度应用于哪个轴？使用约定（偏航、俯仰、翻滚）的代码将无法与假定（翻滚、俯仰、偏航）的代码互操作，并且从代码中看不出使用了哪种解释。

四元数不会受到这种歧义的影响，因为它们只表示单个旋转，具有明确定义的轴。

- Jim Lewis

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我也是指模棱两可的情况，即不同角度三元组（同一约定）可能指向相同的旋转。 - Christian Rau

这不需要极端的万向节锁定情况，每个旋转都可以用多个欧拉角三元组来表示，即使是在同一约定下。 - Christian Rau

Answer 4

正如其他答案指出的那样，四元数在许多方面都比欧拉角有优势。但是，欧拉角确实比四元数具有一个优点：

欧拉角可以告诉您旋转的方向和大小。当您将欧拉角转换为四元数时，该信息就丢失了。例如，欧拉旋转(-270°，0，0)和(1170°，0，0)产生相同的四元数(-0.7071，0，0，-0.7071)。

- Fax

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是的，基本上没有人知道这个。为了防止信息丢失，内部应始终将方向值存储为欧拉角。只有在进行其他计算时才暂时将该值转换为四元数。如果您需要从方向中获取偏航的大小，并且您只在内存中存储了四元数，请放弃...那些信息永远失去了。这是一个明显的好处。 - Brian Yeh

这是非常情境化的优势。如果你有一个应用程序，需要跟踪绕轴旋转的次数（例如由于缠绕数等原因），那么你可能不会使用欧拉角来处理这个问题。 - Blackclaws

@Blackclaws 这可能是真的，但你仍然需要使用其他东西而不是四元数。否则，你将面临与尝试从视频镜头中确定RPM相同的问题 - 一旦你在一个帧中旋转超过半个旋转，就无法再告诉它的方向或速度了（假设快门速度为无限）。 - Fax

@Blackclaws 这可能是真的，但你仍然需要使用其他方法来解决这个问题，而不是四元数。否则，当你在一个帧中旋转超过半圈时，就无法确定旋转方向和速度了（假设快门速度无限）。 - Fax

Answer 5

欧拉角比四元数更好。您应该始终将欧拉角存储在内存中，仅在计算时使用四元数。虽然没有人知道这一点，但我说的是绝对正确的。如果您正在观望，请注意这很重要。听我说完。

原因是您始终可以轻松地从欧拉角导出四元数。转换是微不足道的。但是从四元数到欧拉角的转换基本上是有问题的。对于每个四元数都有两个可能的欧拉角，您无法知道您的四元数来自哪个可能性。

对于虚拟世界和3D游戏，您始终可以使用四元数。这是因为您的计算机可以在朝向位置上绘制对象的图像，而无需实际扭动和俯仰物理万向节以实现该朝向。但是对于机器人和其他真实世界的应用程序，在转换为四元数时会出现真正的信息丢失。

如果您有一个真正的物理万向节，并且您得到了表示该万向节方向的四元数，则除非该万向节在某个运动范围内受限制，否则您绝对无法提取出万向节用于实现该方向的原始偏航、滚动或俯仰。

记住这一点。如果您在机器人或某些机械设置中，请将方向值保存为原始欧拉角。仅在计算时暂时转换为四元数。

一旦转换为四元数，基本上没有回到欧拉的返回之旅。因此，不要将该旅程变成永久性的，将所有信息都存储为欧拉角。

- Brian Yeh

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虽然我认为你的回答很有用且信息量大，但我仍然不认为这使得欧拉角比四元数“更好”。如果说有什么区别的话，我会说欧拉角在某些情况下确实有其用处，而且在某些场景下可能会更好。即使在机器人领域，你也可以不使用它们，唯一需要使用它们的地方就是在控制物理万向节时，正如你所提到的那样。 - Trap

@Trap 我应该说欧拉角更适合存储或数据传输。在计算和变换时暂时转换为四元数，但对于数据存储，请将其保留为欧拉角。 - Brian Yeh

@BrianYeh说转换很简单并不完全正确。在计算中涉及4个余弦和一个正弦，根据您的用例，这可能需要相当长的时间来计算，特别是如果您经常需要这样做。然而，在只有3个关节的单个机器人的用例中，这可能并不重要。 - Blackclaws

@Blackclaws，实际上我在一年后回到这个问题。欧拉角的官方定义故意将俯仰角限制在-180到180之间，以防止出现这个问题。这意味着只有一个欧拉角代表一个方向。从欧拉角的官方定义来看，我的说法是错误的。但是，如果你的机器人关节超过了欧拉角官方定义所施加的人为限制，那么这个问题仍然存在。是的，我也明白你的意思。 - Brian Yeh

Answer 6

Euler角度更快。

Euler角度需要更少的计算工作。

四元数绝对更准确。

在Euler角度中存在一个称为万向节锁定的问题。当两个轴对齐时会发生这种情况。 另一方面，四元数更加灵活，并解决了这个问题，因为它更加面向轴。然而，理解起来比较复杂。

好吧，为了更容易理解四元数。让我们将四个组件分成两个部分：一个角度和与轴原点相连的x、y、z点，称为P。 (x,y,z)-P线表示一个新的轴。 角度表示轴和真实方向之间的角度。 要想可视化这个答案，您需要查看这个5分钟的视频。 https://eater.net/quaternions/video/intro

- M.Noufale

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很不幸，这是非常误导人的。在大多数情况下，欧拉角并不更快。 - Blackclaws