获取一条线段未知端点的角度

Question

简短版：

基本上，我想通过Line AB 的末端点（Point B）来确定未知点C的X和Y值。

我尝试使用atan2(B.y，B.x)，但它给出相对于X轴的角度，导致坐标错误。我想到需要获取由Line BC和虚拟水平轴形成的角度（Angle P）。有没有办法获得那个角度？如果获取该角度不能实现我的目标，那么应该怎么做？

详细版：

我正在使用C++进行一些数学计算，遇到了这个问题。

我有两个向量：Vector A和Vector B（由Point A和Point B表示，并形成line AB）。现在，我想要得到Vector C（Point C），它距离Vector B（由Line BC表示）有L单位远。

我寻找了一些资料，读了一些书，并获得了这个公式来获取所需的点。

/* Let:
 * L = length from B to C
 * ( B.x, B.y ) = start point
 * ( C.x, C.y ) = end point 
 * theta = angle respective to X-Axis ( using atan2( B.y, B.x ) )
 */

// To get C.x use formula cos( theta ) = ( C.x - B.x ) / L then derive
C.x = ( L * cos( theta ) ) + B.x;

// To get C.y use formula sin( theta ) = ( C.y - B.y ) / L then derive
C.y = ( L * sin( theta ) ) + B.y;

然而，这并不会导致如上所示的Point C，因为得到的C将与X轴相关。在阅读更多内容后，我发现需要获取Line BC（淡红色线）和虚拟水平轴（青色线）之间的角度（由紫色Angle P表示），虚拟水平轴包含Point B。

另一个例子： 在这种情况下，使用上述公式会导致C错位（在(X,5)上方）。

我不确定获取Angle P是否能达到我的要求，如果您知道更合适的答案，请告诉我。

- alxcyl

Answer 1

针对此问题，您无需使用三角函数，只需使用简单的比例关系即可。我找到一个方便的规则，即如果您发现自己正在使用sin、cos和atan2，则您可能是在错误地操作。

以下是如何不使用三角函数来解决问题的方法：

dx = B.x - A.x;
dy = B.y - A.y;
dist = sqrt(dx*dx + dy*dy);
C.x = B.x + L*(dx/dist);
C.y = B.y + L*(dy/dist);

- john

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谢谢，它起作用了。你能解释一下它是如何发生的吗？提供一个解释的链接就可以了。我感觉将来会经常使用向量。 - alxcyl

@LanceGray 这只是基本的直线几何，不是吗？恐怕我没有任何解释的链接，但基本上您正在按比例将线段AB延长L/(AB长度)的量。 - john

Answer 2

首先要做的是创建一个tempB，就像A是原点一样（这样你就可以找到B到A的角度等）。

从B中减去A的值。

tempB.x = B.x - A.x
tempB.y = B.y - A.y

然后，您可以使用 atan2 以及 sin/cos（您的公式）来获得 C.x 和 C.y。

theta = atan2(tempB.y, tempB.x)
C.x = ( L * cos( theta ) ) + B.x;
C.y = ( L * sin( theta ) ) + B.y;

另一种选择是获取tempB的单位向量。

magnitude = sqrt( pow(tempB.x,2) + pow(tempB.y,2))
unit.x = tempB.x/magnitude
unit.y = tempB.y/magnitude

将此单位向量乘以L，可以得到从B开始的偏移量。

C.x = B.x + unit.x * L
C.y = B.y + unit.y * L

- user406009

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那么，我应该使用 tempB.x 和 tempB.y 替代 sin/cos 公式中的 B.x 和 B.y 吗？ - alxcyl

@LanceGray 只在 atan2 调用中。tempB 仅用于确定角度。偏移量(C.x = ( L * cos( theta ) ) + B.x;) 仍然使用 B.x。 - user406009

已经实现并且可以运行。但是有点难以理解，因为它使用了三角函数（而我并不是很擅长）。谢谢。 - alxcyl

@LanceGray 嗯，当然关键是你不需要使用三角函数。Ethan的第二个解决方案（就像我的解决方案一样）不使用三角函数。这很有用，因为你说你不太擅长它。 - john

Answer 3

你需要的（向量术语）是 C = B + L*normalize(B-A)。如果你将会经常进行这种计算，那么使用一个向量库来编写代码就非常值得了。否则，你可以使用John的答案，它将相同的计算分解为其基本步骤。

编辑：这里有一个你可以很容易地使用的库（只是头文件）：GLM。

- Martin Stone

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我正在阅读一本关于使用代码进行动画制作的书，但它是用AS 3.0编写的，并包括编写自定义向量类，其中包括clone()、truncate()、normalize()和其他方法。我无法将其重写为C++，所以只能求助于三角学。 - alxcyl

如果你对编写动画代码感兴趣，熟悉使用向量值得花费时间。我已经编辑了我的答案，并附上了一个库的链接，你可以使用它，而不是自己重新编写normalize()等函数。 - Martin Stone