使用Matlab最小化二次形式能量。我应该使用哪个函数？

Question

我是新手，想用matlab进行一些能量最小化的工作。能量函数以3通道图像为输入。对于每个通道，有一个能量项如下：

E = x'Ax + ||Bx||^2 + w*||x-c||^2,

其中x、c是长度为N的向量，A是大小为N*N的矩阵。A是稀疏的、半正定的，并且每行有25个非零元素，给出了对x的所有元素的约束条件。B的大小为M*N。B也是稀疏的，并且每行有2个非零元素。N大约为850,000，M大约为1,000,000。虽然B给出的约束条件多于N，但是x的某些元素与||Bx||^2项无关。项||x-c||^的权重w相当小，比如1e-3。

我已经在matlab文档中搜索过了。看起来我应该使用lsqnonlin解决这个问题。在matlab中是否有专门设计的函数或选项来进行二次形式的最小化？

对于那些熟悉计算机视觉文献的人，我实际上正在尝试实现“从照片集合中获得连贯内在图像”的算法。作者说他们使用matlab反斜杠运算符来最小化能量，但我不知道反斜杠运算符如何用于二次形式问题。

- Bei

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你能将 A 分解为 A = C'*C 吗？ - Shai

@Shai 我也这么认为。你是说我应该将 (A+B'B) 分解为 (A+B'B = C'C)，然后解 Cx=0 吗？谢谢你！这是基本的数学，但真的很有用。顺便问一下，matalb 会保证最小范数解吗？ - Bei

对于一个过完备的系统，Matlab中Cx=0的反斜杠解是最小二乘法，即最小化||Cx||^2||。 - Shai

Answer 1

是的，有一个专门用于优化二次代价函数的函数：quadprog。但是，如果您没有任何线性约束条件，那么您应该能够将成本函数编写为

E = x'Mx/2 + vx + k

找到零梯度点（希望是最小值）可以通过取一阶导数来实现：

dE/dx = Mx + v

将它们设置为零，得到解决方案：

x = -M\v

- user664303