这是一个好的幺半群作用吗？

Question

我认为我可能发现了一个通用的、虽然有些退化的单子作用。伪 Haskell：

instance (Monoid m, Monoid n) => Act m n where
    act mempty x = x  -- let's pretend that we can use `mempty` as a pattern
    act _ _ = mempty

m 对 n 的操作是将 n 设置为 mempty，除非 m 本身为空。

这是一个守法的幺半群操作吗？是否有其他人发明过此操作？如果有，它的名称是什么？

- Benjamin Hodgson

---

看起来这可能与湮灭元有关。 - Benjamin Hodgson

Answer 1

在一般情况下，它似乎不是一个单子群作用。如果是，我们应该具备以下特性：

-- law 1
act mempty            x = x
-- law 2
act (m1 <> m2) x = act m1 (act m2 x)

并且，由于伪实例中act的定义方式：

-- property 1
act x y = mempty
   when x /= mempty

将m和n视为Sum Int，它是一个幺半群。

我们有

act (Sum 0) (Sum 1)
= { definition of mempty }
act mempty (Sum 1)
= { law 1 }
Sum 1

我们还拥有

act (Sum 0) (Sum 1)
= { definition of <> on Sum }
act (Sum (-2) <> Sum 2) (Sum 1)
= { law 2 }
act (Sum (-2)) (act (Sum 2) (Sum 1))
= { property 1, given Sum (-2) /= mempty }
mempty
= { definition of mempty }
Sum 0

导致两种不兼容的结果。

另一方面，当m是一个单子群，其中没有（非平凡）元素具有逆元，例如[a]时，您的act看起来像是一个恰当的作用。

- chi

---

这很有道理，谢谢。我能对 m 应用哪些限制，以便我拥有一个幺半群作用呢？例如，如果 m 不是一个群？或者如果 m 的 mappend 是单调的？（我可能用两种方式说了同样的事情。） - Benjamin Hodgson

@BenjaminHodgson，你需要的不仅仅是“不是一个群”。我猜你需要“没有除了mempty以外有逆元素的元素”。在这种情况下，它应该是一个操作，我猜想（？） - chi

非常有帮助，谢谢。你知道这个东西有名字吗？ - Benjamin Hodgson

@BenjaminHodgson 我不知道。一个自由幺半群应该就足够了，但你不需要幺半群完全自由。例如，在列表上 x <> y = take 4 (x++y) 应该是可以的（？），即使它不形成一个自由幺半群。不确定是否有一个标准名称。 - chi