在浮点运算中，当x(1/x) = 1时，是什么时候？

Question

我知道在浮点数运算中，由于舍入误差，x(1/x)可能不会精确等于1。这种情况下，最小的正整数x应该是49。

我原以为如果在浮点数运算中1/x可以精确表示，那么x(1/x)应该精确等于1，但是我的教授说实际情况比这复杂，并且举了5作为例子。我就是想不出还有什么其他原因。有人可以给我一个提示吗？提前谢谢！

- InsultedByMathematics

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当计算1/x时，可能会出现一个舍入误差（可能为零）。当将其结果乘以x时，可能会出现另一个舍入误差。有时候舍入误差会朝相反的方向发生，从而互相抵消。但有时候则不会。 - undefined

不是一个完整的答案：你可以将问题简化为1<=x<2的情况（忽略次标准和非有限情况）。然后检查1/x的舍入误差最多可以有多少，计算(1/x+error)*x = 1 + error*x并观察error * x何时可能大于epsilon。不确定你是否可以轻松确定哪些x实际上会导致错误，但你可以排除很多情况，例如，我认为x<1.5应该总是舍入回到1。 - undefined

其实，我的假设是错误的。例如，x=561/512 就是一个反例。 - undefined

@EricPostpischil 但是 1.0/5 = 0.2 不是准确的吗？我看到错误可能会互相抵消，但是对于5来说是这种情况吗？ - undefined

@InsultedByMathematics 1.0/5 = 0.2 --> 不对。所有有限的二进制IEEE-754数都是有限整数乘以有限次幂的2。0.2不能被一个常见的double精确表示。 - undefined

Answer 1

我以为x(1/x)如果1/x可以在浮点运算中精确表示，结果应该是1。

确实，当“1/x可以精确表示”时，这是数学上的等价。

但是我的教授说实际情况比这复杂，并且举了5作为例子。

5不符合“如果1/x可以精确表示”的条件，因为1.0/5.0在常规双精度浮点数中并不是完全等于0.2。可以尝试以下计算：

printf("%.*g\n", DBL_DECIMAL_DIG, 1.0/5.0);

可能不会完全等于1，因为存在舍入误差。

没错。还存在范围问题，因为1.0/DBL_TRUE_MIN通常是无穷大。 0.0、无穷大和NAN是其他通常的嫌疑对象。

还有其他原因吗？

"当计算1/x时，会出现舍入误差（可能为零）。当将其结果乘以x时，会出现另一个舍入误差。有时舍入方向恰好相反，它们会互相抵消。有时则不会。" @Eric Postpischil

- chux - Reinstate Monica

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有趣的是回答在哪种舍入模式下它会以何种比例被取消，这可以通过对单精度浮点数进行直接实验来计算出来。 - undefined