将3D极坐标转换为笛卡尔坐标

Question

我一直在研究这种转换背后的数学原理，目前为止，我所找到的最好的解释如下：

x = sin(horizontal_angle) * cos(vertical_angle)
y = sin(horizontal_angle) * sin(vertical_angle)
z = cos(horizontal_angle)

任意角度都可以使用这个公式。我遇到的问题是当其中一个旋转角度为0度时。在0度（或180、360等）时，sin()将变成零，这意味着无论另一个角度设置为什么，上面公式得出的x和y坐标都将变为零。

是否有更好的公式在某些角度下不会出错？我迄今为止的搜索还没有找到，但肯定有解决这个问题的方法。

更新： 经过一些尝试，我发现我主要的误解是我假设我的球面坐标的极点是竖直的（就像行星上的纬度和经度），而它们实际上是水平的（投影到屏幕上）。这是由于我是在屏幕空间中工作（x/y映射到屏幕，z投影到屏幕），而不是传统的3D环境，但不知怎么会成为一个贡献因素。

最终适用于我正确定位极点的公式：

x = cos(horizontal_angle) * sin(vertical_angle)
y = cos(vertical_angle)
z = sin(horizontal_angle) * sin(vertical_angle)

- Nairou

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你的 z 值应该只与垂直角度有关，而不是水平角度。 - RBarryYoung

当你有（0,1,0）时，你失去了水平角度的信息。 - Near

Answer 1

正确的转换公式为：

x = r * sin(polar) * cos(alpha)
y = r * sin(polar) * sin(alpha)
z = r * cos(polar)

在哪里：

r     is the Radius
alpha is the horizontal angle from the X axis
polar is the vertical angle from the Z axis

“x”和“y”在极角为零（或180、360等）时正确为零，因为垂直角度与垂直Z轴对齐。同样，当“alpha”为零（或180、360等）时，水平角度与X轴对齐，所以“y”必须为零。当“alpha”为90（或270、450等）时，它与Y轴对齐，使“x”为零。

- RBarryYoung

Answer 2

你的公式对于所有角度都是正确的。但你给这些角度起的名字可能不太准确。你所称之为“水平角度”实际上是倾斜角度-即向量与z轴之间的角度。因此，如果“水平角度”为0，则点位于z轴上，这意味着将x和y都设置为0是正确的。你所说的“垂直角度”实际上是在x-y平面上的角度。如果它为0，则该点位于x-z平面上，因此将y设置为0是正确的。

- happydave

Answer 3

使用维基百科上的极坐标转换中的公式，我的计算结果如下：

x = r * cos(polar) * cos(alpha)
y = r * cos(polar) * sin(alpha)
z = r * sin(polar)

其中：

r     is the Radius
alpha is the horizontal angle from the X axis
polar is the vertical angle made by r vector with the x-y plane 
      ( 90 - <angle with Z axis> )

然后意识到@RBarryYoung的答案是正确的，而我的答案也是正确的，只是考虑了不同的角度。只是我没有在他的答案中使用正确的Z轴角度，而是它的补角（90-极角）由向量与x-y平面形成的角度。所以请考虑这一点。

- Alex P.