C语言中浮点数取整问题

Question

我想了解浮点数的工作原理。

我希望通过以下方式测试我的知识/需要学习的内容：我想找到最小的x，使得x + 1 = x，其中x是一个浮点数。

据我所知，当x足够大时，x+1会更接近于x而不是下一个可由浮点表示的比x更高的数字。因此，直觉上似乎情况是我在有效数字中没有足够的位数。那么这个x的值是否是所有有效数字都是1的数字？但是我似乎无法确定指数应该是多少。显然，它必须很大（相对于10的0次幂）。

- Tony Stark

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就像你所问的那样，负无穷大 :-) 你可能想要最小的正数而不是最小的数。 - AProgrammer

Answer 1

您只需要用指数表达尾数中LS位的值。当这个值大于1时，您就满足了条件。对于单精度浮点数，LS位的值为2^-24*2^exp，因此当exp>24时，条件就会满足，即25。因此，满足此条件的最小（规格化）数字将是1.0 * 2^25 = 33554432.0f。

我没有检查过这个公式，所以我的数学可能有误（例如乘以2的因素），并且FP单元可能会在第24位之后进行舍入，因此可能需要进一步考虑乘以2的因素，但您已经得到了一个大致的想法...

- Paul R

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哦，伙计，我刚好在你发布这个帖子的时候弄明白了！太棒了！ - Tony Stark

实际上，x=2^24是第一个满足条件的浮点数（任何大于2^24-1的值都需要25位，因此超出了浮点数的精确表示范围）。 - Rick Regan

可能有一些粘着位超出了你看到的尾数，用于四舍五入，所以取决于数字如何进入寄存器（通过 int 转换为 float 或通过 float + float(1.0) 等），可能会有微妙的差异，因此它可能是24或25或26位，但在那个范围内，你将其推出尾数的末尾。 - old_timer

@dwelch：我非常确定它会在25位数范围内发生；如果不是2^24（在我的测试中它适用于2^24），那么很快就会发生。25位整数必须舍入为偶数（16777216、16777218、16777220、16777222等），因此这些是x的候选值。你必须比所有2^23个加1的数都舍入到x更不幸才行！ - Rick Regan

我会假设一些浮点处理器在这方面有所不同，我已经很久没有查看规格以了解其详细信息。从理论上讲，您需要至少再增加一个位来进行舍入。回答具体问题还取决于X和舍入，1加上正确的数字将舍入到尾数，而其他舍入模式则不会。也许我们已经过度强调指数尾数的事情，帖子作者已经足够理解了。 - old_timer

Answer 2

从1.0开始，不断加倍直到测试成功：

double x;
for (x = 1.0; x + 1 != x; x *= 2) { }
printf("%g + 1 = %g\n", x, x + 1);

- Marcelo Cantos

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尝试并不意味着我理解了其中的原因 :) 我更倾向于先推理一下。我想这篇文章更普遍地讨论了舍入是如何融入浮点数学中的，正如我提出的示例问题所证明的那样。 - Tony Stark

Answer 3

我建议在尝试理解浮点数和浮点算术时，使用十进制，其中有效数字为5位，指数为2位。（或者，如果5和2不适合您，可以选择6和3或其他您喜欢的小数字。）以下问题：

• 可表示的数字集合有限；
• 非交换性、非结合性和非分配性；
• 将浮点数视为实数时可能出现的问题；

在十进制中，所有这些问题都更容易理解，所学到的教训是完全通用的。一旦您掌握了这个知识点，通过IEEE浮点算术来增强您的知识将相对容易。您还将能够相对轻松地理解其他浮点算术系统。

- High Performance Mark