有无限种可能性（或特殊情况下的值为1或0）。可以使用直接方法在常数时间内计算出解决方案。不需要近似或迭代方法来找到给定函数的根。这只是纯数学。
高斯核具有有趣的对称性。其中之一是当峰值被平移到
(0,0)时的旋转不变性。另一个是2D高斯表面的1D截面是高斯曲线。
暂时忽略
offset：它实际上并没有改变问题（它只是Z轴平移），并且为分辨率添加了额外的无用项。
几何解法是一个椭圆，因此解决方案
(xe,ye)遵循共轭表达式：
(xe-x0)² / a² + (ye-y0)² / b² = 1。如果
sigma_x=sigma_y，那么解决方案更简单：这是一个带有表达式
(xe-x0)² + (ye-y0)² = r的圆。请注意，
a，
b和
r取决于所搜索的值和内核参数（例如
sigma_x）。更改
sigma_x和
sigma_y就像拉伸空间一样，因此解决方案也类似地改变。更改
x0和
y0就像平移空间一样，因此解决方案也是如此。
实际上，我们可以解决更简单的情况，其中
x0=0，
y0=0，
sigma_x=1和
sigma_y=1。然后，我们可以应用一个翻译，然后使用转换矩阵进行线性变换。基本的4x4矩阵可以做到这一点。解决更简单的情况要容易得多，因为需要考虑的参数较少。实际上，
g0和
offset也可以部分丢弃
f，因为它在表达式的两侧，并且只需解决线性方程
offset + g0 * h(xe,ye) = g0 / e，因此
h(x,y) = 1 / e - offset / g0，其中
h(xe, ye) = exp(-(xe² + ye²)/2)。假设我们暂时忘记了翻译和线性变换，那么问题可以很容易地解决：
h(xe, ye) = 1 / e - offset / g0
exp(-(xe² + ye²)/2) = 1 / e - offset / g0
-(xe² + ye²)/2 = ln(1 / e - offset / g0)
xe² + ye² = -2 * ln(1 / e - offset / g0)
我们得到了圆的表达式，其中半径r是-2*ln(1 / e - offset / g0)！请注意，表达式中的ln基本上是自然对数。
现在我们可以尝试找出4x4矩阵系数，或者直接尝试解决完整表达式，这最终并不那么困难。
offset + g0 * exp(-((x-x0)²/(2*sigma_x²) + (y-y0)²/(2*sigma_y²))) = g0 / e
exp(-((x-x0)²/(2*sigma_x²) + (y-y0)²/(2*sigma_y²))) = 1 / e - offset / g0
-((x-x0)²/(2*sigma_x²) + (y-y0)²/(2*sigma_y²)) = ln(1 / e - offset / g0)
((x-x0)²/sigma_x² + (y-y0)²/sigma_y²)/2 = -ln(1 / e - offset / g0)
(x-x0)²/sigma_x² + (y-y0)²/sigma_y² = -2 * ln(1 / e - offset / g0)
我们得到了椭圆的表达式，其中r = -2 * ln(1 / e - offset / g0)是一个常数，a = sigma_x和b = sigma_y是上述表达式中的未知参数。它可以使用a = sigma_x/sqrt(r)和b = sigma_y/sqrt(r)进行归一化，以便右侧完全符合上述表达式，但这只是一些数学细节。
您可以轻松找到椭圆的一个点，因为您知道椭圆的中心(x0, y0)，并且至少有一点在线y=y0与上述椭圆表达式的交点处。让我们找到它：
(x-x0)²/sigma_x² + (y0-y0)²/sigma_y² = -2 * ln(1 / e - offset / g0)
(x-x0)²/sigma_x² = -2 * ln(1 / e - offset / g0)
(x-x0)² = -2 * ln(1 / e - offset / g0) * sigma_x²
x = sqrt(-2 * ln(1 / e - offset / g0) * sigma_x²) + x0
请注意，有两个解 (-sqrt(...) + x0)，但只需要其中一个。我希望在计算中没有犯任何错误（至少细节足以轻松找到）并且解决方案在您的情况下不是复数。此解决方案的好处是它非常快速地计算。
最终解决方案是：
(xe, ye) = (sqrt(-2*ln(1/e-offset/g0)*sigma_x²)+x0, y0)
f(x,y)应该是(offset+g₀)/e还是offset+g₀/e？ - chrslg