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编程概念的数学符号表示

mathconventions
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有许多方法可以表示程序的结构（例如UML类图等）。我想知道是否有一种约定以严格、数学的方式描述程序。我特别关注使用数学符号来达到这个目的。

例如：类被表示为集合（字段、属性）和操作集合元素的函数。父类的字段是子类字段的子集。函数用伪代码描述，必须看起来像这样...

我认为数学符号是标准的。我的所有计算机科学书籍似乎都在使用它。你有哪些计算机科学书籍？ - S.Lott
每个领域都有它的工具。Mathematica或MathLab是可用于程序的数学/功能描述的工具。一般来说，您可能会在像F＃这样的函数式语言中找到您要寻找的内容。 - Lucero
也许我需要澄清一下。数学符号是标准的（例如http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_mathematical_symbols），但我正在寻找用于编程目的的数学符号使用约定。 - supermedo
我还是完全不理解这个问题。当我看标准的计算机科学教材时，它们充斥着数学内容。你在问什么？是要推荐一本计算机科学教材吗？ - S.Lott
本话题是关于编程语言的形式语义学。基本工具/框架是指称语义学和Scott-Strachey域论以及其用于计算和递归定义的不动点语义学。 - philipxy
10个回答
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您正在了解函数式编程。有几种函数式编程语言，它们都基于一种称为Lambda演算的基本数学理论。使用函数式编程语言（如LISP）编写的程序是其自身的数学表示。;-)

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Hoare逻辑只表达/证明语义。此外，它对于函数间的交互并不真正可用，对于类更是一点用处都没有。 - Henri
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有很多方法，但我认为大部分都不方便表达结构，因为结构通常无法用默认的数学概念来表达。当然，主要例外是函数式编程语言。想想折叠（catamorphisme）、群、代数等。

对于命令式编程，我知道存在 Z，它使用（纯粹和扩展的）λ演算集合论和（一阶）谓词逻辑。然而，我认为这并不是很方便。使用数学来表达结构的唯一好处是你可以证明关于它的东西。但如果你想这样做，请看看 JML、Spec# 或 Eiffel。

我本来要提到Z符号。这里有一个简短的介绍：http://en.wikipedia.org/wiki/Z_notation。如果听起来很有趣，那么可以免费获取一本教材：http://www.usingz.com/。 - hexium
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这取决于你想要实现什么，但是使用特定的编程语言可能会让你陷入麻烦。

例如，请参阅C++ FAQ Lite上关于圆形-椭圆形讨论的内容。

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这本书采用演绎法来编程，将程序与使其工作的抽象数学理论联系起来。我相信亚历山大·斯蒂帕诺夫和保罗·麦克琼斯的《程序设计基础》非常接近你所寻找的内容。
概念是关于一个或多个类型的要求描述，以类型上定义的过程、类型属性和类型函数的存在和属性来阐述。
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Z已经被提到，它基本上就是你所描述的。有一些针对面向对象建模的变体，但我认为如果你想建模类，使用“标准Z”的模式就可以达到相当高的水平。

还有Alloy，它是较新的、受Z启发的工具。它的符号表示可能更接近于面向对象。它也是可分析的，即您可以检查您创建的模型是否满足某些条件，但它不能证明属性保持不变，只能在有限范围内尝试反驳。

文章Dependable Software by Design是Alloy及其类似工具的一个很好的介绍，同时列出了可用的类似工具的表格。

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我想推荐一下程序代数。它是一种使用关系代数和伽罗瓦连接的计算方法来编写程序。

如果您对这个主题有进一步的兴趣，您可以在这里找到一篇令人惊叹的论文，由Shin-Cheng Mu和José Nuno Oliveira（幻灯片）撰写。

使用关系代数和一阶逻辑，也与Alloy、函数式编程和设计契约有很好的协同作用（可轻松应用于面向对象编程）。

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有一种数学语言，实际上描述了一个程序或者说它的操作。你从初始状态开始，然后转换这个状态，直到达到所需的目标状态。这些转换产生的程序代码必须被执行。

请参阅维基百科关于霍尔逻辑的文章。

基本思想是对于每个函数（无论是将其放入类中还是放入旧式函数中），都有前置条件和后置条件。例如，前置条件可以是您拥有一个具有>= 0个元素的数组。后置条件是每个i <= j的元素[i]必须小于等于element[j]。

通常的描述是“该函数对数组进行排序”。但是数学术语允许您将输入（必须匹配前置条件）转换为输出（必须匹配后置条件）。

对于更复杂的程序来说，使用起来有点不方便，但其中一些示例非常令人印象深刻。通常情况下，您会得到非常紧凑的代码作为结果，看起来相当复杂，但第一次尝试就能运行。

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