算法：交错聚类

Question

我需要把一组物品的簇交错地放置在一个一维数组中，以最大化相同簇内项目之间的间距。

示例：

clusterA = [A, A, A, A, A, A, A, A]
clusterB = [B, B, B, B]
clusterC = [C, C]

interleaved_example = [A, B, A, C, A, A, B, A, B, A, C, A, B, A]

A值之间的差距为(2, 2, 1, 2, 2, 2, 2)，平均值约为1.9

B值之间的差距为(5, 2, 4)，平均值约为3.7

C值之间的差距为(7)=平均值为7

平均差为约2.8，最小差=1

理想情况下，应首先优化最小差，其次优化平均差。

我的第一次尝试是将最大的聚类放入一个数组X中，然后将第二大的聚类插入到X中线性间隔的位置（必要时四舍五入），然后重复每个更小的聚类，但这很容易证明是亚最优的，尽管平均而言还不错。

我一直在努力将其建模为凸优化问题，希望能在其上使用scipy.optimize.minimize。

我想知道是否存在现有的原则性算法来实现这一点。

- David Parks

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B的取值范围不是（5,2,4）吗？ - Mark Setchell

可能是 https://dev59.com/WJffa4cB1Zd3GeqP7m3I 的重复问题。 - Jim Mischel

请参阅 https://cs.stackexchange.com/q/29709/8314 和 http://blog.mischel.com/2015/03/26/evenly-distributing-items-in-a-list/。 - Jim Mischel

我发现对于小数字有一个奇怪的模式。总传播范围的最大最优值始终为3*(n-3)，其中n是交错序列的长度。这反过来又给出了平均传播范围为3.0。不确定这是否是某种上限。 - DollarAkshay

@JimMischel，你的博客文章非常有价值。在阅读完它之后（实际上我自己也思考了这个问题两天），我意识到确定“最优”的确切含义是多么具有挑战性。我认为你混合液体的比喻和解决方案是一个可靠的方法，我打算采用并进行尝试。 - David Parks

Answer 1

我认为通过在中点位置逐渐插入来获得最佳分散效果是最好的。从小到大依次应用此方法可以得到最优的分散效果（或接近最优）：

首先，您需要一个函数，在目标元素的列表中为m个源元素提供中点插入位置（其中N >= m）。该函数应该从第一、最后和中间三个插入位置开始具有尽可能宽的分散，并从中间使用二分法获取其余插入点。

def iPoints(N,m):
    d = N//2
    result = [0,N,d]
    if m==N: result[1] = N-1
    while len(result)<m:
        d = max(1,d//2)
        for r in result[2:]:
            for s in [-1,1]:
                p = r+s*d
                if p in result : continue
                result.append(p)
    result = sorted(result[:m])
    result = [ p + sum(p>r for r in result[:i]) for i,p in enumerate(result)]
    return result

使用这个方法，你可以按照从大到小的顺序遍历集群列表并执行插入操作：最初的回答。

clusterA  = ["A", "A", "A", "A", "A", "A", "A", "A"]
clusterB  = ["B", "B", "B", "B"]
clusterC  = ["C", "C"]

clusters  = [clusterA,clusterB,clusterC]
totalSize = sum(map(len,clusters))
order     = -1 if all((totalSize-len(c))//(len(c)-1) for c in clusters) else 1
clusters  = sorted(clusters,key=lambda c: order*(totalSize-len(c))//(len(c)-1))
merged    = clusters[0]
for cluster in clusters[1:]:
    target = cluster.copy()
    source = merged
    if len(source) > len(target):
        source,target = target,source
    indexes = iPoints(len(target),len(source))
    for c,p in zip(source,indexes):
        target.insert(p,c)
    merged  = target

print(merged)

# ['C', 'B', 'A', 'A', 'B', 'A', 'A', 'B', 'A', 'A', 'A', 'A', 'B', 'C']

分析这个结果表明，对于这组集群来说，它稍微好一些。不幸的是，它并不能总是提供最优解。"最初的回答"

from statistics import mean
m = "".join(merged)
spreadA = [ d+1 for d in map(len,m.split("A")[1:-1])]
spreadB = [ d+1 for d in map(len,m.split("B")[1:-1])]
spreadC = [ d+1 for d in map(len,m.split("C")[1:-1])]
print("A",spreadA,mean(spreadA))
print("B",spreadB,mean(spreadB))
print("C",spreadC,mean(spreadC))
print("minimum spread",min(spreadA+spreadB+spreadC))
print("average spread", round(mean(spreadA+spreadB+spreadC), 1))

# A [1, 2, 1, 2, 1, 1, 1] 1.3
# B [3, 3, 5] 3.7
# C [13] 13
# minimum spread 1
# average spread 3

在尝试其他集群大小时，我发现集群处理的顺序很重要。我所使用的顺序基于每个集群的最大范围。如果至少有一个集群比其他集群更大，则按升序排列；否则按降序排列。

Original Answer翻译成"最初的回答"。

clusterA = ["A", "A", "A", "A", "A"]
clusterB = ["B", "B", "B", "B"]
clusterC = ["C", "C"]


# ['A', 'C', 'B', 'A', 'B', 'A', 'B', 'A', 'B', 'C', 'A']
# A [3, 2, 2, 3] 2.5
# B [2, 2, 2] 2
# C [8] 8
# minimum spread 2
# average spread 3

- Alain T.

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平均差价是加权平均值，而不是平均值的平均值。 - DollarAkshay

已经修复了。 - Alain T.

Answer 2

正如所述，对于这种退化情况，有一个微不足道的解决方案，其中一个集合至少有一半加一的元素。该集合必须有两个相邻成员，将最小扩展固定为1。

由于您的其他指标仅取决于每个集合的总扩展（第一个和最后一个元素），中间的排列并不重要。

在您的扩展的每端放置每个类别的元素，较大的集合在外部。

ABCAAAAAABBCBA

A spread: 3 1 1 1 1 1 5; mean = 13/7, the same as yours
B spread: 8 1 2;         mean = 11/3, ~3.7 versus your ~3.3
C spread: 9;             mean =  9/1, better than your 7
mean spread (13+11+9) / (7+3+1) = 33/11 = 3, better than your ~2.7

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我建议您将传播度量更改为RMS或类似的高阶计算。在这种情况下，引用的重复内容应满足您的需求。

- Prune