为什么无法从最大的双精度浮点数中减去1

Question

#include <iostream>
#include <limits>

int main()
{   
    double d = std::numeric_limits<double>::max();
    std::cout << std::to_string(d) << std::endl;
    std::cout << std::to_string(d - 1) << std::endl;
}

[test@arch_host ~]$ g++ test.cpp 
[test@arch_host ~]$ ./a.out 
179769313486231570814527423731704356798070567525844996598917476803157260780028538760589558632766878171540458953514382464234321326889464182768467546703537516986049910576551282076245490090389328944075868508455133942304583236903222948165808559332123348274797826204144723168738177180919299881250404026184124858368.000000
179769313486231570814527423731704356798070567525844996598917476803157260780028538760589558632766878171540458953514382464234321326889464182768467546703537516986049910576551282076245490090389328944075868508455133942304583236903222948165808559332123348274797826204144723168738177180919299881250404026184124858368.000000

为什么第二个数字没有以7结尾？

- koljan.818

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你需要学习浮点数表示法。它们不精确到最后一位数字。我相信维基百科有一个很好的起点。 - Gordon Linoff

这肯定是一个重复的。 - Puppy

阅读http://floating-point-gui.de/（并记住该URL） - Basile Starynkevitch

Answer 1

double使用IEEE 754标准进行表示。与int不同，它没有一个固定的最小步长为1。随着数字变得越来越大，最小步长也会变得越来越大：

你的数字太大，其步长比1大得多。为了简单起见，我们假设它是10。因此，如果您尝试减去1，则该值会四舍五入到下一个有效的double。这与之前相同。

或者换句话说：179769313486231570814527423731704356798070567525844996598917476803157260780028538760589558632766878171540458953514382464234321326889464182768467546703537516986049910576551282076245490090389328944075868508455133942304583236903222948165808559332123348274797826204144723168738177180919299881250404026184124858367不是有效的double。

- Crigges

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这张图应该是严重夸大了吧？如果我没记错的话，实际的截止点大约在10^23左右。 - Puppy

是的，这不准确。我试图简化问题。 - Crigges

Answer 2

在C++中，double类型通常采用二进制64位格式符合IEEE 754标准。因此，我们将基于此回答问题。其他浮点格式（例如float（二进制32位）、binary16）也是有效的，它们没有本地的C++类型，甚至包括非IEEE 754浮点格式。由于double由52位的尾数和11位的指数组成，其范围是“动态的”：

如果指数很大：尾数将表示整数，然后，在此之后，它将无法表示例如尾随数字2，因为尾数上的数字数量有限。

如果指数很小：尾数将表示越来越小的负2次幂（1/2、1/4等），并且它将更加精确。

至于问题本身：

当未指定IEEE 754定义的舍入模式之一时，默认值为“最近偶数舍入”，这正是它听起来的样子。

当您使用最大double值进行操作时，它与最后一个可表示的double之间的差距巨大。因此，通过减去1.0，代数上给出maxDouble-1.0，但在硬件中，它不可表示，因为指数太小（它将在第52位之后发生变化），因此您的FPU使用最近偶数舍入模式，并将其舍入到maxDouble。

要解决您的问题，可以使用两个解决方案。如果程序计算的值的范围不太大且计算速度不是太重要，则使用定点算术。或者使用CPU制造商提供的内部机制（通常在头文件中找到），将舍入模式设置为向0舍入或向下舍入。

哦，这里有一个简短的舍入模式列表：最近偶数舍入、向上舍入、向下舍入和向0舍入，它等同于向上或向下舍入，具体取决于操作的符号。

如果您要在浮点算术中使用如此高的值，您应该定期检查您的数字是否已饱和为∞或-∞，因为那样您将无法对它们进行操作。

- Sachiko.Shinozaki

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C++并不要求double必须符合二进制64位IEEE 745标准，尽管这是目前最常见的实现方式。 - Pete Becker

虽然标准并不要求，但几乎所有的CPU都有本地支持它们（除了一些嵌入式系统），所以很容易混淆。我很抱歉。 - Sachiko.Shinozaki

相关问题：https://dev59.com/o1sX5IYBdhLWcg3wDb2L - Ignacio Vazquez-Abrams

只有IEEE 754，没有IEEE 745。 - Crigges

一个打错字了，不好意思。 - Sachiko.Shinozaki