我有一个三维曲面（类比于xy平面），该曲面可以倾斜（类比于斜坡路面）。给定一组定义曲面的三维坐标点（Point3D1X, Point3D1Y, Point3D1Z, Point3D12X, Point3D2Y, Point3D2Z, Point3D3X, Point3D3Y, Point3D3Z等等），如何计算该曲面的面积？
需要注意的是，这个问题类比于在二维平面中求面积。在二维平面中，我们有一组定义多边形的点，使用这些点我们可以计算出该多边形的面积。现在假设所有这些点都有一个z值，以便将它们在三维空间中抬升形成一个曲面。我的问题是如何找到该三维曲面的面积？
由于您说它是多面体，因此 stacker 提供的链接 (http://softsurfer.com/Archive/algorithm_0101/algorithm_0101.htm) 适用于您。
这是我对您情况的 C 代码的近似 C# 翻译：
// NOTE: The original code contained the following notice:
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// Copyright 2000 softSurfer, 2012 Dan Sunday
// This code may be freely used and modified for any purpose
// providing that this copyright notice is included with it.
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// liable for any real or imagined damage resulting from its use.
// Users of this code must verify correctness for their application.
// ---------------------------------------
// area3D_Polygon(): computes the area of a 3D planar polygon
// Input: int n = the number of vertices in the polygon
// Point[] V = an array of n+2 vertices in a plane
// with V[n]=V[0] and V[n+1]=V[1]
// Point N = unit normal vector of the polygon's plane
// Return: the (float) area of the polygon
static float
area3D_Polygon( int n, Point3D[] V, Point3D N )
{
float area = 0;
float an, ax, ay, az; // abs value of normal and its coords
int coord; // coord to ignore: 1=x, 2=y, 3=z
int i, j, k; // loop indices
// select largest abs coordinate to ignore for projection
ax = (N.x>0 ? N.x : -N.x); // abs x-coord
ay = (N.y>0 ? N.y : -N.y); // abs y-coord
az = (N.z>0 ? N.z : -N.z); // abs z-coord
coord = 3; // ignore z-coord
if (ax > ay) {
if (ax > az) coord = 1; // ignore x-coord
}
else if (ay > az) coord = 2; // ignore y-coord
// compute area of the 2D projection
for (i=1, j=2, k=0; i<=n; i++, j++, k++)
switch (coord) {
case 1:
area += (V[i].y * (V[j].z - V[k].z));
continue;
case 2:
area += (V[i].x * (V[j].z - V[k].z));
continue;
case 3:
area += (V[i].x * (V[j].y - V[k].y));
continue;
}
// scale to get area before projection
an = Math.Sqrt( ax*ax + ay*ay + az*az); // length of normal vector
switch (coord) {
case 1:
area *= (an / (2*ax));
break;
case 2:
area *= (an / (2*ay));
break;
case 3:
area *= (an / (2*az));
break;
}
return area;
}
an，长度为1。你也会得到负面的面积，所以返回abs(area)是正确的。 - Noob我点赞了几个答案，我认为它们是正确的。但我认为无论是在二维还是三维中，最简单的方法是使用以下公式：
area = sum(V(i+1) × V(i))/2;
其中×代表向量叉积。
实现此操作的代码如下：
public double Area(List<Point3D> PtList)
{
int nPts = PtList.Count;
Point3D a;
int j = 0;
for (int i = 0; i < nPts; ++i)
{
j = (i + 1) % nPts;
a += Point3D.Cross(PtList[i], PtList[j]);
}
a /= 2;
return Point3D.Distance(a,default(Point3D));
}
public static Point3D Cross(Point3D v0, Point3D v1)
{
return new Point3D(v0.Y * v1.Z - v0.Z * v1.Y,
v0.Z * v1.X - v0.X * v1.Z,
v0.X * v1.Y - v0.Y * v1.X);
}
我不知道如何优化这种方法（我以前没有写过代码），但数学上的方法是将您的形状分成三角形，然后很容易计算和求和它们的面积。（记住：三角形的面积是宽度*高度*0.5-您需要计算非直角三角形的高度。）
在3D中做这些事情通常意味着每个阶段需要进行更多的计算。例如，在2D中，两点之间的距离（您形状的一条边的长度）可以通过以下方式计算（因为我在这台机器上没有VS，所以使用伪代码）：
double DistanceBetween(Point a, Point b)
{
double dx = a.x - b.x;
double dy = a.y - b.y;
return SquareRoot(dx*dx + dy*dy);
}
double DistanceBetween(Point3d a, Point3d b)
{
double dx = a.x - b.x;
double dy = a.y - b.y;
double dz = a.z - b.z;
return SquareRoot(dx*dx + dy*dy + dz*dz);
}
@Graviton，我无法对上面的答案进行评论，因此我将提交一个新的答案。
这可能是我对c#语法不熟悉，但我认为您的答案缺少与单位法向量的点积。公式应该是：
area = n.sum( V(i+1) x V(i) )/2;
其中n是指法向量，.表示点乘，x表示叉乘。
法向量可以使用多边形的任意三个向量进行计算：
n = (V1-V0)x(V2-V0)/magnitude((V1-V0)x(V2-V0))
这是一个使用Vector.js库的JavaScript实现：
function getArea (vecs) {
var area = 0;
var vecs = [];
var j = 0;
var a = new Vector(0,0,0);
for (var i = 0; i < vecs.length; i++) {
j = (i + 1) % vecs.length;
a = a.add( vecs[i].cross(vecs[j]) );
}
a = a.divide(2);
var v1 = vecs[1].subtract(vecs[0]);
var v2 = vecs[2].subtract(vecs[0]);
var normal = v1.cross(v2);
normal = normal.unit();
// area = a.length()/10000; // convert to m2
area = (normal.dot(a))/10000;
return area;
};
你可以用2D解决方案来推导出解决方法。
考虑由许多小三角形组成的多边形。
将每个三角形投影回XY平面。你可以证明原始三角形的面积是投影三角形面积的1/(n.k)倍。(这里，n是包含多边形的平面的单位法向量，k是指向z方向的单位向量)
因此，原始多边形的总面积是投影到XY平面中的多边形面积的1/(n.k)倍。你可以使用现有的2D公式计算出它。
你可以通过(e1 x e2 ) / || e1 x e2 ||来计算n，其中e1和e2是多边形的任意两条非平行边。
当然，你可以将其投影到XZ或YZ平面以获得更好(更准确)的结果。你应该选择法向量最接近你所在平面的那个平面。