我该如何计算加权测量之间的标准偏差？

Question

我有几个带权值，想要用加权平均数来计算加权标准差。如何修改标准差公式以包含每个测量的权重？

这是我使用的标准差公式。

当我简单地将每个带权值用于“x”，带权平均值用于“x̄”时，结果似乎比实际结果小。

- Steven C. Howell

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这个问题与这个网站有什么关系？难道不应该属于Mathematics SE吗？ - David Arenburg

@DavidArenburg 这是我正在尝试编程的内容，很可能其他人在未来也会使用。我刚刚添加了更多的答案来确定如何高效地编写代码。 - Steven C. Howell

Answer 1

我刚刚发现了这篇维基百科页面，讨论等重数据和加权数据。计算偏置加权方差的正确方法是：

，

虽然下面的即时实现在计算上更加高效，因为它不需要在循环加权差平方之前计算加权平均值：

。

尽管我持怀疑态度，但我尝试了两种方法，并得到了完全相同的结果。

注意，一定要使用加权平均值：

。

- Steven C. Howell

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请注意，平均值也是使用权重计算的（即在该公式中要小心使用加权平均值，而不是通常的未加权平均值）。 - Robert Dodier

@RobertDodier 很好的观点。我没有明确说明，但是为了完整起见，我会这样做。 - Steven C. Howell

最后一句话应该是“加权平均”，而不是“加权误差”，对吧？我想加权误差应该是x_i和这个值之间的差异。 - akavalar