我正在尝试创建一个“平行”的贝塞尔曲线。我已经接近成功，但还差一点。我试图保持两个曲线之间的1像素偏移（红色和蓝色）。
我的主要目标是使用边缘偏移算法来扩展/收缩SVG路径。
解决方案
对于任何其他正在寻找解决方案的人，我已经创建了一个AS3版本。
http://seant23.wordpress.com/2010/11/12/offset-bezier-curves/
4个回答
16
我希望您会发现我的数学论文有用
通过选择性细分进行二次贝塞尔曲线偏移 https://microbians.com/mathcode
- microbians
4
你是否也有立方曲线或更高阶的推广，还是你的解决方案只适用于二次曲线？（如果是，那么相关文档是否可用？=） - Mike 'Pomax' Kamermans
1抱歉，我没有三次方程的解决方案...但是我意识到您可以使用二次方程的近似值来代替三次方程，并且每个近似值都要偏移，因为在每个偏移的极端处，切线不会改变。 - microbians
链接已经失效了。 - aheze
1@aheze 已经恢复正常工作。 - microbians
11
来自维基百科：(http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve)
从给定的Bézier曲线偏移固定距离处的曲线，通常称为偏移曲线（类似于铁路轨道之间的偏移），不能被一个Bézier曲线完全形成（除了一些微不足道的情况）。然而，有启发式方法通常可以给出实际目的下足够的近似值。
您还可以查看此处指示的论文： Outline of cubic bezier curve stroke
- erkmene
1
你能解释至少一个启发式吗？（我知道曲线平滑化） - user1196549
8
你所要求的被称为数学中的平移或偏移曲线。维基百科上的贝塞尔曲线文章（其他人引用过）未能将“偏移曲线”链接到正确的文章，但我已在几秒钟前修复了它。在矢量图形世界中，同样的概念被称为对路径进行描边。
一般来说，对于三次/贝塞尔曲线，偏移曲线是一个10次多项式！来源：Kilgard, p. 28
如果你只想栅格化这样的偏移曲线，而不是计算它们的解析形式，你可以例如查看ghostscript的源代码。你也可以查看这个专利申请，看看NV_path_rendering是如何做到的。
如果您想转换或近似偏移曲线，那么涵盖METAFONT到PostScript字体的TUG论文MetaFog是一个很好的参考。METAFONT系统先于PostScript出现，它允许用（更复杂的数学）描边操作来描述字体，但由于速度原因，PostScript Type 1字体只允许使用填充而不是一般的PostScript绘图。
另一个算法以(仅两个)贝塞尔曲线（每侧一个）来逼近偏移量，并提供了在PostScript中的代码，在Gernot Hoffmann的这篇论文第7节中介绍。(感谢OpenGL论坛上的某人发现了这篇文章。)
实际上有很多这样的算法。我找到了一篇1997年的调查报告，介绍了各种用于近似偏移曲线的算法。它们假设源曲线是Bezier或NURBS。
- Fizz
7
通常情况下，不可能将三次贝塞尔曲线的偏移表示为另一条三次贝塞尔曲线（具体来说，当您有尖点或曲率半径接近偏移距离时，这会出现问题）。但是，您可以以任何精度近似偏移量。
请尝试以下操作：
1. 偏移所涉及的Beziers（您已经做得相当不错）； 2. 测量每个原始曲线与相应偏移曲线之间的差异。我建议尝试大约10个样本，看看效果如何； 3. 对于任何超出公差的偏移，请使用deCastlejau算法对其进行细分和迭代。
我没有实现偏移（因为我使用的内核已经有偏移），但这似乎值得一试。
请尝试以下操作：
1. 偏移所涉及的Beziers（您已经做得相当不错）； 2. 测量每个原始曲线与相应偏移曲线之间的差异。我建议尝试大约10个样本，看看效果如何； 3. 对于任何超出公差的偏移，请使用deCastlejau算法对其进行细分和迭代。
我没有实现偏移（因为我使用的内核已经有偏移），但这似乎值得一试。
- tfinniga
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原文链接
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0,0到2,2再到0,2画一条曲线，然后将曲线复制到图像中并以4,4为中心重新绘制（而不是2,2），那么这不会产生1像素的偏移吗？ - warren