如何找到两个线性方程组的交点算法？

Question

我正在苦苦思索一种算法，以找出两个线性方程的交点，例如:

f(x)=2x+4

g(x)=x+2

我希望使用将f(x)=g(x)设为方程并解出x的方法，并避免使用叉积。请问是否有人能提供类似算法的建议？

- Bent Hansen

Answer 1

如果你的输入行是斜截式形式，那么算法就过于复杂了，因为有一个直接的公式可以计算它们的交点。该公式在维基百科页面上给出（链接），并且您可以按照以下解释来理解它。

给出线条的方程：两条非垂直线相交的点的x和y坐标可以通过以下替换和重新排列轻松找到。

假设两条线的方程为y = ax + c和y = bx + d，其中a和b是线的斜率，而c和d是线的y-截距。在两条线相交的点处（如果它们相交），两个y坐标将相同，因此有以下等式：

ax + c = bx + d。

我们可以重新排列这个表达式以提取x的值，

ax - bx = d - c，所以

x = (d-c)/(a-b)。

要找到y坐标，我们只需要将x的值代入两条线方程中的任意一条即可。例如，代入第一个公式：

y=(a*(d-c)/(a-b))+c。

因此，交点为{(d-c)/(a-b), (a*(d-c)/(a-b))+c}

注意：如果a = b，则两条线平行。 如果c ≠ d，那么这两条线是不同的，并且没有交点。否则，两条直线相同。

- displayName

Answer 2

给定： ax + b = cx + d

ax = cx + d - b ax - cx = d - b x(a - c) = d - b 因此，x = (d - b) / (a - c)

在您的示例中，让 a = 2，b = 4，c = 1，d = 2

x = (2 - 4) / (2 - 1) x = -2 / 1 x = -2

- tuxedobob

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不要忘记测试 a != c，否则你会得到一个除以零的错误。 - Charles

Answer 3

通解。让

f(x) = a1x + b1 ....... g(x) = a2x + b2

特殊情况：

• a1 == a2且b1 == b2：直线重合

• a1 == a2且b1 != b2：直线平行，无交点

一般情况：a1 != a2

X = (b2 - b1) / (a1 - a2) ....和... Y = (a1b2 - a2b1) / (a1 - a2)

- A.S.H

Answer 4

我不记得在方程的背景下什么是叉积。

解决这些问题的一种方法是将它们相等，解出 x 的值，然后使用该值来解出 y：

2x + 4 = x + 2
2x + 2 = x
     x = -2
     y = f(x)
       = g(x)
       = x + 2
       = -2 + 2
       = 0

解决方案：(-2, 0)

- tar