理解OpenGL矩阵

Question

理解OpenGL矩阵

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我开始学习3D渲染，进展不错。我已经学会了很多关于矩阵及其一般操作的知识。

但有一件事情我仍然不太明白，那就是OpenGL对矩阵的使用。我经常看到像这样的东西：

x y z n
-------
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

据我所知，它是一个规范化（无量纲）的4维列主矩阵。同时，这个特定的矩阵被称为“单位矩阵”。

一些问题：

第N维是什么？
如何以及何时应用它们？

我最大的疑惑来自于OpenGL如何利用这种数据。

- Alexander Trauzzi

请查看书籍《游戏和交互应用的基本数学》http://www.essentialmath.com/book.htm。 - Mr. Berna

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一个标准化向量并不是“没有大小”。标准化向量的长度/大小为1。 - alesplin

谢谢！我想我在理解上有些过度了。至少我走在了正确的轨道上。;) - Alexander Trauzzi

相关问题：http://gamedev.stackexchange.com/questions/72044/why-do-we-use-4x4-matrices-to-transform-things-in-3d - Ciro Santilli OurBigBook.com

相关问答：理解4x4齐次变换矩阵 - Spektre

2个回答

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可能会对您有所帮助的简短答案是，“nth”维度并不代表任何可视化的数量。它作为实用工具添加到矩阵乘法中，以实现平移和透视投影。直观的3x3矩阵无法完成这些任务。

一个表示空间中一点的3D值，总是在第四个值上加上1才能让这个技巧起作用。而一个表示方向的3D值（即法线，如果您熟悉该术语），则在第四个位置上加0。

- Alan

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可以查看英文原文，
原文链接

- kennytm · Accepted Answer

在大多数三维图形中，一个点由一个四元向量（x，y，z，w）表示，其中w = 1。应用于点的常规操作包括平移，缩放，旋转，反射，扭曲和这些操作的组合。

这些变换可以由称为“矩阵”的数学对象表示。矩阵对向量的应用如下：

[ a b c tx ] [ x ]   [ a*x + b*y + c*z + tx*w ]
| d e f ty | | y | = | d*x + e*y + f*z + ty*w |
| g h i tz | | z |   | g*x + h*y + i*z + tz*w |
[ p q r s  ] [ w ]   [ p*x + q*y + r*z +  s*w ]

例如，缩放被表示为：

[ 2 . . . ] [ x ]   [ 2x ]
| . 2 . . | | y | = | 2y |
| . . 2 . | | z |   | 2z |
[ . . . 1 ] [ 1 ]   [ 1  ]

和翻译作为

[ 1 . . dx ] [ x ]   [ x + dx ]
| . 1 . dy | | y | = | y + dy |
| . . 1 dz | | z |   | z + dz |
[ . . . 1  ] [ 1 ]   [   1    ]

第四个组件的原因之一是使翻译可以用矩阵表示。

使用矩阵的优点在于，通过矩阵乘法可以将多个变换组合成一个。

现在，如果目的只是为了将翻译放在桌面上，那么我会使用 (x、y、z、1) 而不是 (x、y、z、w)，并始终将矩阵的最后一行设置为 [0 0 0 1]，就像通常用于二维图形一样。实际上，这个四分量向量将通过以下公式映射回正常的三分量向量：

[ x(3D) ]   [ x / w ]
| y(3D) ] = | y / w |
[ z(3D) ]   [ z / w ]

这被称为齐次坐标。允许这样做可以使用矩阵表示透视投影，这可以再次与所有其他变换组合使用。

例如，由于远离观察者的物体在屏幕上应该更小，因此我们使用公式将3D坐标转换为2D坐标。

x(2D) = x(3D) / (10 * z(3D))
y(2D) = y(3D) / (10 * z(3D))

现在，如果我们应用投影矩阵。

[ 1 . .  . ] [ x ]   [  x   ]
| . 1 .  . | | y | = |  y   |
| . . 1  . | | z |   |  z   |
[ . . 10 . ] [ 1 ]   [ 10*z ]

如果是真实的三维坐标，那么就会变成这样。

x(3D) := x/w = x/10z
y(3D) := y/w = y/10z
z(3D) := z/w = 0.1

所以我们只需要去掉z坐标来投射到二维平面。