单子和应用的联系是什么？

Question

我正在阅读关于 applicative 的内容，并尝试理解 haskellbook 上的内容。

在书中，作者提到：

所以，使用 Applicative，我们可以为结构体创建一个 Monoid 并对值应用函数！

Monoid 如何与 applicative 相关联？

- softshipper

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很好的问题！你可能会发现这个链接很有启发性。（如果不行的话，我很乐意写一篇更详细的答案。） - Benjamin Hodgson

另外：https://dev59.com/rmYr5IYBdhLWcg3wfaWd - leftaroundabout

您可能会发现typiclassopedia很有价值 https://wiki.haskell.org/Typeclassopedia#Definition_6 - LudvigH

一个可应用的 m a 具有结构 m 和值 a。 pure :: a -> m a 使我们能够构造一个最小的结构（类似于 m 的恒等元），而 (<*>) :: m (a -> b) -> m a -> m b 则使我们能够组合两个 m（类似于幺半群的操作），同时对内部值进行函数应用（一个值是 a -> b，另一个是 a，你得到一个 b）。 - Alec

请注意，这里使用的 Monoid 是更一般的数学意义上的。Haskell 不会将其视为“Monoid”。 - Alec

Answer 1

注意：我还没有拥有这本书，而且如果我没记错的话，至少一个作者在SO上很活跃，并且应该能够回答这个问题。 也就是说，单子（或者更确切地说是半群）背后的思想是，在该单子^₁中，您有一种方法可以从两个对象创建另一个对象：

mappend :: Monoid m => m -> m -> m

那么Applicative怎么成为一个单子呢？正如您引用的话所说，它在结构上是一个单子。也就是说，我们从一个f something开始，继续使用f anotherthing，最后得到了一个f resulthing，你已经猜到了：

amappend :: f (a -> b) -> f a -> f b

在我们继续之前，短暂的，非常短暂的时间内，让我们忘记f具有* -> * 类型。我们最终得到了什么？

amappend :: f          -> f   -> f

这就是所谓的“单调结构”部分。这也是 Haskell 中 Applicative 和 Functor 的区别，因为在 Functor 中我们没有该属性：

fmap     ::   (a -> b) -> f a -> f b
--          ^
--       no f here

这也是我们尝试仅使用fmap或其他函数时会遇到麻烦的原因：经过一次fmap后，除非我们能够“在那个新结构中应用我们的新函数”，否则我们将被困住。这就带我们来到了你问题的第二部分：

所以，使用Applicative，我们为值进行函数应用！

函数应用是($)。如果我们看一下<*>，我们可以立即看到它们很相似：

($)   ::   (a -> b) ->   a ->   b
(<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b

如果我们忘记在(<*>)中的f，那么我们最终只会得到($)。 因此，在我们的结构上下文中，(<*>)只是函数应用：

increase  :: Int -> Int
increase x = x + 1

five :: Int
five = 5

increaseA :: Applicative f => f (Int -> Int)
increaseA = pure increase

fiveA :: Applicative f => f Int
fiveA = pure 5

normalIncrease      = increase   $  five
applicativeIncrease = increaseA <*> fiveA

我想作者所谓的“函数应用”就是这个意思。我们突然可以将那些隐藏在我们结构中的函数应用于其他值。由于单调性，我们仍然呆在这个结构中。

话虽如此，我个人从不称之为单调的，因为 <*> 不作用于相同类型的两个参数，并且一个适用程序缺少空元素。

^{1对于真正的半群/幺半群，该操作应该是结合的，但这并不重要}

- Zeta

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我已经尝试了另一种表达方式：class Functor f => Cappl f where unit :: Category c => f (c a a); comp :: Category c => f (c y z) -> f (c x y) -> f (c x z)。这等同于Applicative，也等同于看似不那么强大的class Functor f => Fappl f where funit :: f (a -> a); fcomp :: f (y -> z) -> f (x -> y) -> f (x -> z)。我不知道是否有任何有趣的东西。 - dfeuer

@dfeuer 好奇：如果没有使用 Profunctor c，你是如何从 Fappl 转换到 Cappl 的？ - Benjamin Hodgson

@BenjaminHodgson，我实际上是从Fappl到Applicative再到（显然的）Cappl，最后到（琐碎的）Fappl。如果你在这个过程中遇到了困难，请告诉我。我可以给你一个提示，但可能太大了。 - dfeuer

@Zeta，你能否公布IRC的链接？ - softshipper

@dfeuer 我明白了。那个提示足够大了。 - Benjamin Hodgson

@zero_coding：IRC？“IIRC”意思是“如果我记得正确的话”，比如“如果我没错的话，至少一个作者有StackOverflow账户”。 - Zeta

Answer 2

尽管这个问题早已得到了一个很好的答案，但我想再补充一点。

看一下以下类：

class Functor f => Monoidal f where
  unit :: f ()
  (**) :: f a -> f b -> f (a, b)

在解释为什么我们需要一些关于Applicative的问题的Monoidal类之前，让我们先看一下它的法则，遵守这些法则可以给我们提供一个单子：

• f a (x) 等同于 f ((), a) (unit ** x)，这给了我们左单位元。 (** unit) :: f a -> f ((), a)，fmap snd :: f ((), a) -> f a。
• f a (x) 也等同于 f (a, ()) (x ** unit)，这给了我们右单位元。 (unit **) :: f a -> f (a, ())，fmap fst :: f (a, ()) -> f a。
• f ((a, b), c) ((x ** y) ** z) 等同于 f (a, (b, c)) (x ** (y ** z))，这给了我们结合律。 fmap assoc :: f ((a, b), c) -> f (a, (b, c))，fmap assoc' :: f (a, (b, c)) -> f ((a, b), c)。

正如你所猜测的那样，我们可以用Monoidal的方法来书写Applicative，反之亦然。

unit   = pure ()
f ** g = (,) <$> f <*> g = liftA2 (,) f g

pure x  = const x <$> unit
f <*> g = uncurry id <$> (f ** g)
liftA2 f x y = uncurry f <$> (x ** y)

此外，我们可以证明 Monoidal 和 Applicative 法则告诉我们同样的事情。我之前问过这个问题。

- Zhiltsoff Igor