整合一个2D向量场数组（反转np.gradient）

Question

我有一个问题： 我想要对一个二维数组进行积分，基本上是对梯度算子进行反转。

假设我的数组非常简单，如下所示：

shape = (60, 60)
sampling = 1
k_mesh = np.meshgrid(np.fft.fftfreq(shape[0], sampling), np.fft.fftfreq(shape[1], sampling))

然后我将我的向量场构建为一个复数值数组（x-向量=实部，y-向量=虚部）：

k = k_mesh[0] + 1j * k_mesh[1]

所以，例如实部看起来像这样 现在我计算梯度：

k_grad = np.gradient(k, sampling)

然后我使用傅里叶变换来反转它，使用以下函数：

def freq_array(shape, sampling):

    f_freq_1d_y = np.fft.fftfreq(shape[0], sampling[0])
    f_freq_1d_x = np.fft.fftfreq(shape[1], sampling[1])
    f_freq_mesh = np.meshgrid(f_freq_1d_x, f_freq_1d_y)
    f_freq = np.hypot(f_freq_mesh[0], f_freq_mesh[1])

    return f_freq


def int_2d_fourier(arr, sampling):
    freqs = freq_array(arr.shape, sampling)

    k_sq = np.where(freqs != 0, freqs**2, 0.0001)
    k = np.meshgrid(np.fft.fftfreq(arr.shape[0], sampling), np.fft.fftfreq(arr.shape[1], sampling))

    v_int_x = np.real(np.fft.ifft2((np.fft.fft2(arr[1]) * k[0]) / (2*np.pi * 1j * k_sq)))
    v_int_y = np.real(np.fft.ifft2((np.fft.fft2(arr[0]) * k[0]) / (2*np.pi * 1j * k_sq)))

    v_int_fs = v_int_x + v_int_y
    return v_int_fs


k_int = int_2d_fourier(k, sampling)

很不幸，在k有突变的位置，结果不是非常准确，如下图所示，它显示了k和k_int的水平线轮廓。

有什么办法可以提高精度吗？是否有一种方法可以使其完全相同？

- F. Win

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它在同一位置穿过0，对吧？这是从白色到黑色的转换处。 - user2261062

如果您的图像是人工制造的，请将其放大，这样您将采样更多的像素，因此您将拥有更多的频率。问题来自于突然变化，除非您拥有无限数量的谐波，否则无法对其进行建模。 - user2261062

当然，我可以对这个进行重新采样，但是对于其他问题，我的采样是固定的。 - F. Win

那么你的答案是这是一个无法解决的人为因素，因为它源于数据的离散采样？ - F. Win

你认为使用真实空间积分会更好吗？如果是，你有示例代码吗？ - F. Win

Answer 1

我实际上找到了一个解决方案。集成本身产生非常准确的结果。 然而，来自numpy的梯度函数计算二阶精确中心差分，这意味着梯度本身已经是一个近似值。

当您使用类似于2D高斯函数的解析公式替换上述问题时，可以通过解析计算导数。当积分此解析派生函数时，误差在10^-10的数量级上（取决于高斯函数的宽度，可能会导致混叠效应）。

长话短说：上面提出的集成函数按预期工作！

- F. Win