如何加入重叠的圆形？

Question

我希望能够视觉上连接两个重叠的圆形，以便

变成

我已经有了部分圆的方法，但现在我需要知道每个圆的重叠角度有多大，而我不知道如何做到这一点。

有人有想法吗？

- Cobra_Fast

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这些圆通常不具有相同的半径，但偶尔可能会相同。 - Cobra_Fast

使用起始角度和结束角度的半径和三角函数生成点的方程，然后解决问题。 - Ignacio Vazquez-Abrams

我的想法是将它们填充为与边框相同的颜色。 - Javed Akram

这只是反过来的余弦定理（http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_cosines）。你已经知道了三角形的所有边，因此可以得到你想要知道的角度。 - Dario

这个问题需要进一步澄清，让它更与软件相关。你所说的“joining circles”是什么意思？你是想在Region类中表示它们吗？为边缘定义一个Path？还是在Bitmap上绘制它们？就我而言，我不知道“joining circles”在C#方面意味着什么。除了“math”标签外，所有标签都代表什么意思？ - Ran

Answer 1

Phi= ArcTan[ Sqrt[4 * R^2 - d^2] /d ]

祝一切顺利！

编辑

对于两个不同的半径：

稍微简化一下：

Phi= ArcTan[Sqrt[-d^4 -(R1^2 - R2^2)^2 + 2*d^2*(R1^2 + R2^2)]/(d^2 +R1^2 -R2^2)]

编辑

如果你想要从另一个圆心观察的角度，只需在最后一个方程中将R1替换为R2即可。

以下是Mathematica的示例实现：

f[center1_, d_, R1_, R2_] := Module[{Phi, Theta},

   Phi=  ArcTan[Sqrt[-d^4-(R1^2-R2^2)^2 + 2*d^2*(R1^2 + R2^2)]/(d^2 +R1^2 -R2^2)]

   Theta=ArcTan[Sqrt[-d^4-(R1^2-R2^2)^2 + 2*d^2*(R1^2 + R2^2)]/(d^2 -R1^2 +R2^2)]

   {Circle[{center1, 0}, R1, {2 Pi - Phi,   Phi}], 
    Circle[{d,       0}, R2, {Pi - Theta,  -Pi + Theta}]}

   ];
Graphics[f[0, 1.5, 1, 1]]

Graphics[f[0, 1.5, 1, 3/4]]  

还有...

ImageMultiply[ Binarize@FillingTransform[#], 
 ImageResize[Import@ "http://i305.photobucket.com/albums/nn235/greeneyedgirlox/blondebabybunny.jpg",    ImageDimensions@#]] &@
 Rasterize@Graphics[f[0, 1.5, 1, 1], Background -> Black]

:)

- Dr. belisarius

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这两个半径不一定相同。 - Ignacio Vazquez-Abrams

什么是D？我怎样获得D？为什么它在编辑器中漂浮着？ - Cobra_Fast

@Cobra D 是圆心之间的距离。 - Dr. belisarius

@belisarius 出于好奇，你用什么工具制作这些图表？ - Phrogz

@Phrogz 前两个是使用 Geometry Expressions 完成的，后三个是使用 Mathematica 完成的。代码也是 Mathematica 代码。 - Dr. belisarius

Answer 2

现在，即使图形是椭圆形或者有任意数量的图形，这个方法也会百分之百地适用于你。

    private void Form1_Paint(object sender, PaintEventArgs e)
    {
        Pen p = new Pen(Color.Red, 2);      

        Rectangle Fig1 = new Rectangle(50, 50, 100, 50);  //dimensions of Fig1
        Rectangle Fig2 = new Rectangle(100, 50, 100, 50); //dimensions of Fig2
        . . .

        DrawFigure(e.Graphics, p, Fig1);   
        DrawFigure(e.Graphics, p, Fig2);
        . . .

        //remember to call  FillFigure after  drawing all figures.
        FillFigure(e.Graphics, p, Fig1); 
        FillFigure(e.Graphics, p, Fig2);
        . . .
    }
    private void DrawFigure(Graphics g, Pen p, Rectangle r)
    {
        g.DrawEllipse(p, r.X, r.Y, r.Width, r.Height);
    }
    private void FillFigure(Graphics g, Pen p, Rectangle r)
    {
        g.FillEllipse(new SolidBrush(this.BackColor), r.X + p.Width, r.Y + p.Width, r.Width - 2 * +p.Width, r.Height - 2 * +p.Width);      //Adjusting Color so that it will leave border and fill 
    }

- Javed Akram

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谢谢您不仔细阅读问题和评论。我正在使用OpenGL，而不是.net绘图。 - Cobra_Fast

Answer 3

暂时没时间解决，但我会给你需要的东西来解决它：

http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle#The_sine.2C_cosine_and_tangent_rules

在维基百科上的图片中，您可以看到三角形A、B、C。让A成为左圆的中心，B成为右圆的中心。AC是左圆的半径，BC是右圆的半径。

那么点C将是顶部交点。角Aα是左圆的角度的一半。角Bβ是右圆的角度的一半。这些就是您需要的角度，对吗？

维基百科进一步解释：“如果已知任何三角形的三条边的长度，则可以计算出三个角度。”

伪代码：

a=radius_a
b=radius_b
c=b_x - a_x
alpha=arccos((b^2 + c^2 - a^2) / (2*b*c)) //from wikipedia
left_angle=2*alpha

祝你好运 :)

- Ishtar