如何确定空间中两条不相交直线之间距离的点

Question

我有一个问题想要和您分享，希望您能帮助我。我正在处理3D线条，并且需要获取两条交叉线的最小距离所在的精确点。为什么我需要这些点呢？

对于每一条无限长的直线，我只关心该最小距离是否在同一条直线上某些点的特定范围内。例如，我有一条线r，它的点是P（0,0,0）和Q（10,10,10），我只关心所述最小距离是否在该坐标区间内。

为了得到距离，我使用公式：

但是，我不知道如何确保上述P和Q的值范围内达到了这种最小距离。

如果有人有更好的想法来检查这一点或者知道如何获得这些点，我会非常感激。

- Carles Sastre Pérez

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请展示一个带有 P 和 Q 的图表。第二条线是如何参数化的？如果这两条线相交，那么它们之间的最小距离为0。检查交点是否在点 P 和 Q 之间非常简单。您确定这两条线是相交的吗？ - Mad Physicist

一些链接：https://math.stackexchange.com/search?q=minimum+3d+distance+lines，特别是[这个问答](https://math.stackexchange.com/questions/1993953/closest-points-between-two-lines)或[这个维基百科](https://en.wikipedia.org/wiki/Skew_lines#Nearest_Points)。 - Ripi2

线段不相交，但是它们相交。因此我没有交点。 - Carles Sastre Pérez

你在帖子中写的公式并不是一对斜线（即不相交且不平行的三维线）之间最短距离的公式。你所写的是三维空间中点到直线的最短距离公式。 - Futurologist

Answer 1

如果我理解你的问题正确：

对于点 P，在两条直线上分别获得正交投影（如果 v 和 w 已经被标准化，则不需要分母）

PAproj = A - P + dot(AP, v) / dot(v,v) * v
PBproj = B - P + dot(BP, w) / dot(w,w) * w

然后检查这些向量是否是反共线的

 cross(PAproj, PBproj) == 0   
   and 
 dot(PAproj, PBproj) has negative sign

- MBo

Answer 2

通常情况下，3D中的线条是由线上一个点的坐标和与该线对齐（或平行）的一个向量的坐标来指定的。因此，我假设您输入的数据是：

1) line s with point S = [xS, yS, zS] on l and a vector u = [u1, u2, u3] aligned with s

2) line r defined by the pair of points P = [xP, yP, zP] and Q = [xQ, yQ, zQ] 

Your goal is to check whether the point on r that is closest to line s 
is inside the line segment PQ on r or not.

算法。

n = u x (Q - P)
SP = P - S
SQ = Q - S
proj_SP = SP - ( (n . SP) / (n . n) )  n 
proj_SQ = SQ - ( (n . SQ) / (n . n) )  n
w = n x u
if (proj_SP . w) * (proj_SQ . w) < 0
    then the point on r that is closest to line s 
         is inside the line segment PQ
else
         the point on r that is closest to line s 
         is outside the line segment PQ

- Futurologist