我在几个统计计算问题的回答中简要介绍了这个问题。
我的这个回答 的后续部分比较全面。请注意，我在那里的讨论以及以下内容实际上假定您知道什么是BLAS，特别是什么是3级BLAS例程
dgemm和
dsyrk。
在这里，我的答案将提供一些证据和基准测试，以确保您对我在那里的论点有信心。此外，还将解释Douglas Bates的评论。
< h1 > 交叉积和< code >"％*％"到底是什么？
让我们检查这两个例程的源代码。 R
base包的C级源代码主要可以在以下位置找到：
R-release/src/main
特别地，矩阵运算定义在
R-release/src/main/array.c
现在，
"%*%"匹配到一个C例程matprod，该例程调用dgemm并设置transa = "N"和transb = "N"；crossprod很容易被视为一个复合函数，匹配到symcrossprod，crossprod，symtcrossprod和tcrossprod（复杂矩阵的对应物，如ccrossprod在此未列出）。
你现在应该明白crossprod避免了所有显式的矩阵转置。 crossprod（A，B）比t（A）％*％B更便宜，因为后者需要对A进行显式矩阵转置。 在接下来的内容中，我将把这称为转置开销。
在R级别分析可以展示这个开销。考虑以下例子：
A <- matrix(ruinf(1000 * 1000), 1000)
B <- matrix(ruinf(1000 * 1000), 1000)
Rprof("brutal.out")
result <- t.default(A) %*% B
Rprof(NULL)
summaryRprof("brutal.out")
Rprof("smart.out")
result <- crossprod(A, B)
Rprof(NULL)
summaryRprof("smart.out")
请注意第一个案例中的
t.default如何出现在分析结果中。
分析还给出了执行的CPU时间。您会发现两者似乎花费了相同的时间，因为开销微不足道。现在，我将向您展示什么时候开销是一个痛点。
何时转置开销才显著？
假设
A是一个
k * m的矩阵，
B是一个
k * n的矩阵，则矩阵乘法
A'B（
'表示转置）具有FLOP计数（浮点加法和乘法量）
2mnk。如果您执行
t(A) %*% B，则转置开销为
mk（
A中的元素数），因此比率为：
useful computation : overhead = 2n : 1
除非n很大，否则在实际矩阵乘法中无法摊销转置开销。
最极端的情况是n=1，即对于B你有一个单列矩阵（或向量）。考虑进行基准测试：
library(microbenchmark)
A <- matrix(runif(2000 * 2000), 2000)
x <- runif(2000)
microbenchmark(t.default(A) %*% x, crossprod(A, x))
你会发现
crossprod快了好几倍！
什么情况下"%*%"结构上不如其他方法？
正如我在链接答案中提到的（以及Bates的笔记中的基准测试结果），如果你做A'A，crossprod肯定会快两倍。
如果你有稀疏矩阵怎么办？
拥有稀疏矩阵并不改变上述基本结论。R包Matrix用于设置稀疏矩阵，还具有用于"%*%"和crossprod的稀疏计算方法。所以你仍然应该期望crossprod稍微快一些。
Bates关于BLAS“截至2007年夏季”的评论是什么意思？
这与稀疏矩阵无关。BLAS严格用于密集数值线性代数。
它所涉及的是在Netlib的F77参考dgemm内部使用的循环变量的差异。对于调度矩阵-矩阵乘法op(A) * op(B)（这里的*表示矩阵乘法而不是元素乘积！），有两个循环变量，变量的选择完全由op(A)的转置设置决定：
- 对于
op(A) = A'，在最内层循环中使用“内积”版本，在这种情况下无法进行零检测；
- 对于
op(A) = A，使用“AXPY”版本，并且可以从计算中排除op(B)中的任何零。
现在想想R如何调用dgemm。第一种情况对应于crossprod，而第二种情况对应于"%*%"（以及tcrossprod）。
在这方面，如果你的B矩阵有很多零，而它仍然处于密集矩阵格式中，那么t(A) %*% B将比crossprod(A, B)更快，因为前者的循环变量更有效率。
最有启发性的例子是当B是对角矩阵或带状矩阵时。让我们考虑一个带状矩阵（实际上是一个对称三对角矩阵）：
B_diag <- diag(runif(1000))
B_subdiag <- rbind(0, cbind(diag(runif(999)), 0))
B <- B_diag + B_subdiag + t(B_subdiag)
现在让A仍然是一个完整的密集矩阵。
A <- matrix(runif(1000 * 1000), 1000)
然后比较。
library(microbenchmark)
microbenchmark(t.default(A) %*% B, crossprod(A, B))
你会发现 "%*%" 要快得多！
我猜一个更好的例子是矩阵 B 是一个三角矩阵。这在实践中相当常见。三角矩阵不被视为稀疏矩阵（也不应该被存储为稀疏矩阵）。
注意：如果您正在使用带有优化BLAS库（如OpenBLAS或Intel MKL）的R，您仍然会发现crossprod更快。但是，这确实是因为任何优化的BLAS库中的阻塞和缓存策略破坏了与Netlib的F77参考BLAS中的循环变量调度模式相同的模式。因此，任何“零检测”都是不可能的。所以，您将观察到对于这个特定的示例，F77参考BLAS甚至比优化的BLAS更快。
crossprod是 C 级别的，因此通常应该更快，而对于稀疏矩阵，R 似乎以更高效的方式处理它。 - David Arenburg%*%也可以是.Primitive()和C级别的。所以答案是%*%只有在期望稀疏矩阵时才应该使用（或者为了代码可读性）？ - Tim