在三维空间中，通过旋转向量使其朝向另一个向量，并按角度θ计算向量的结果。

Question

在三维空间中，通过旋转向量使其朝向另一个向量，并按角度θ计算向量的结果。

mathvector

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在三维空间中，有单位向量 V 和 D，它们有相同的起点。我想将向量 V 旋转到向量 D 的方向上，但只旋转 θ 角度。

已知：

向量 V 和 D 是单位向量。
我们知道向量 V(x,y,z) 和 D(x,y,z) 的坐标。
我们知道两个向量 V 和 D 之间的夹角 Δφ。
我们还知道向量 V 将旋转以接近向量 D 的角度 θ。
我们知道三个向量的起点 "O"。

现在我们想要计算向量 Z，它也将是一个单位向量。是否可以根据上述信息计算出向量 Z 的坐标？

您有什么想法如何解决这个问题吗？

- Vortakis

一个小问题：对于向量来说，没有“起点”，所以这并不相关。也许你在想线段，它确实有起点和终点。 - Mike Harris

除了@comingstorm提出的解决方案之外，另一个选择是使用四元数，特别是如果您想将相同的旋转应用于多个向量。请参考四元数和空间旋转。 - salva

3个回答

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一种方法是找到与V垂直的D分量，将其放大到相等长度，并使用sin()和cos()进行向量求和：

D_perp = D - V * ((D . V)/(V . V))

D_perp_scaled = D_perp * (|V|/|D_perp|)

result = cos(theta) * V + sin(theta) * D_perp_scaled

除非D与V平行，否则这是明确定义的，这将导致|D_perp| == 0并在除法中引起问题。这并不令人惊讶：在那种情况下，您的旋转平面是不明确的-不清楚应该沿哪个方向旋转！

从数学上讲，找到垂直线的这种方法相当于其他答案中提到的叉积方法cross(cross(V,D),V)，但可能更简单，并且适用于任何矢量空间（例如，2-D和4-D矢量，而不仅仅是3-D）。

- comingstorm

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向量Q由叉积V × D给出。两个三维向量的叉积始终垂直于叉积的两个参数。因此，这将是旋转轴。在您的情况下，Q将由以下方式给出：

<b>Q</b><sub>x</sub> = <b>V</b><sub>y</sub><b>D</b><sub>z</sub> - <b>V</b><sub>z</sub><b>D</b><sub>y</sub>
<b>Q</b><sub>y</sub> = <b>V</b><sub>z</sub><b>D</b><sub>x</sub> - <b>V</b><sub>x</sub><b>D</b><sub>z</sub>
<b>Q</b><sub>z</sub> = <b>V</b><sub>x</sub><b>D</b><sub>y</sub> - <b>V</b><sub>y</sub><b>D</b><sub>x</sub>

请注意，V × D = -D × V，因此可能存在符号问题。另外，Q 通常不是一个单位向量，而旋转通常需要单位向量，因此请确保将其除以其大小并使用 Q' = Q/|Q| (Q ≠ 0) 作为旋转轴。

- andand

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谢谢！这看起来非常有帮助，但在我的情况下，Z是我想要围绕垂直旋转的向量！我们称垂直线为Q。之后，我应该将向量V围绕Q旋转θ角度，对吗？ - Vortakis

好的...我最初看不到你的图片；我已经更新了以反映这一点。是的，没错。 - andand

非常感谢！你不知道我现在有多么宽慰！ - Vortakis

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可以查看英文原文，
原文链接

- David Hammen · Accepted Answer

你需要做的是在V和D向量所在平面内定义第三个轴，使得从V旋转90度指向这个方向。我将称指向该方向的单位向量为D'。有了这个，你的Z向量就很容易确定了：

Z = cos(theta)*V + sin(theta)*D_tick;

那么如何计算D'呢？这也很简单。首先使用叉积计算与V和D正交的向量。将其称为W：W = V×D。接下来计算与W和V正交的向量：D' = W×V = (V×D)×V。这指向正确的方向，但如果您的V和D正交，它才会成为一个单位向量。因此进行归一化处理：D' = D'/||D'||，其中||D'||是向量D'的大小。如果您有一个向量数学包，可以通过该方式执行此操作

D_tick = ((V.cross(D)).cross(V)).normalize();

一个注意点：如果||D'||为零怎么办？当且仅当Δφ是pi弧度（或180度）的倍数时才会发生这种情况。或者，当V和D平行或反向平行时也会发生这种情况。在这种特殊情况下，你的问题是不合适的。你应该检查这种特殊情况。

附录
对于三维空间中的向量，我的(V×D)×V和comingstorm的D - V*((D·V)/(V·V))是相同的。因为V是一个单位向量，他的D-V*((D·V)/(V·V))简化为D-V(D·V)。根据向量三重积恒等式(http://mathworld.wolfram.com/VectorTripleProduct.html)，我的(V×D)×V等于D(V·V)-V(D·V)，这又简化为D-V(D·V)，因为V是一个单位向量。