如何在MATLAB中找到两个函数的交点？

Question

假设我有一个函数'x'和一个函数'2sin(x)'。

如何在MATLAB中输出它们的交点，即根？我可以轻松地绘制这两个函数并以此找到它们，但肯定存在一种绝对的方法来做到这一点。

- scadda

Answer 1

如果你有两个分析函数（我指的是符号函数），你可以定义它们的差，并使用fzero找到零点，即根：

f = @(x) x;        %defines a function f(x)
g = @(x) 2*sin(x); %defines a function g(x)

%solve f==g
xroot = fzero(@(x)f(x)-g(x),0.5); %starts search from x==0.5

对于一些复杂的函数，你可能需要设置一个好的起点，即使有多个解决方案，它也只会找到一个。

上面看到的构造 @(x) something-with-x 称为匿名函数，它们也可以扩展到多元情况，例如 @(x,y) 3*x.*y+c ，假设变量 c 已经被赋值。

- Andras Deak -- Слава Україні

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为什么它只能找到一个解而不是所有的解？在MATLAB中有没有一个函数可以找到所有的根？ - scadda

如果我没有弄错的话，MATLAB缩写为MATrix LABoratory。它被设计用于数值问题，并且在解决这些问题方面效果最好。询问“我的棘手符号函数的零点在哪里”可能最好留给专门设计用于符号问题的程序，如Mathematica或Maple。MATLAB确实有一个名为“mupad”的符号引擎，但我不信任它，从未使用过它（当然这可能只是我的错误）。长话短说：如果有一种方法可以使用matlab获取所有零点，我不知道。具体来说，“fzero”仅找到一个零点，因为它使用一种交叉方法。 - Andras Deak -- Слава Україні

符号工具箱在这种情况下是正确的选择。 工具箱可用吗？ 基本上，解决函数的第一个示例包含您所需的一切。 - Daniel

@Daniel，就像我说的一样，我完全不熟悉matlab的那个方面。你能为此提供一个答案吗？ - Andras Deak -- Слава Україні

我可以访问符号工具箱。 - scadda

@scadda，像@Daniel建议的那样看一下doc solve。确实有很好的例子。但是请注意，（至少按照默认行为）它不会为三角函数提供无限级数的根，例如syms x; solve(x==tan(x))只会给出原点上的根，而solve(1==2*sin(x))只会给出两个根。 - Andras Deak -- Слава Україні

Answer 2

在撰写评论时，我考虑到：

syms x; solve(x==2*sin(x))

这个问题在Matlab 2013b中，solve无法找到解析解，只能退而求其次使用数值求解器，只返回一个解 0。

另一种选择是：

s = feval(symengine,'numeric::solve',2*sin(x)==x,x,'AllRealRoots')

这段文字摘自类似问题的这个答案。除了使用AllRealRoots之外，您还可以使用数值求解器，手动设置起始点，使其大致匹配您从图表中阅读到的值。这样可以获得精确的结果。

[fzero(@(x)f(x)-g(x),-2),fzero(@(x)f(x)-g(x),0),fzero(@(x)f(x)-g(x),2)]

如果您需要更高的精度，可以从fzero切换到vpasolve，但fzero可能已经足够快速。

- Daniel