如何消除矩阵中不对它的秩有贡献的行？

Question

我刚接触MATLAB并有一个看起来很明显的问题，但我不太明白如何解决。

假设我有一个100 x 100的矩阵，它的秩是50。我怎样才能将其维度降低为50 x 100呢？也就是说，我如何消除那些对它的秩没有贡献的行呢？

- Yaeli778

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@CroCo - 是的，那是等效的操作。 - rayryeng

类似的问题在这里：http://stackoverflow.com/questions/24547255/find-dependent-rows-columns-of-a-matrix-using-matlab 但是看起来rayryeng的答案可能更好。 - eigenchris

@Yaeli778 - 谢谢 :) 祝你好运！ - rayryeng

可能是从Matlab中一组向量中提取最大线性无关向量集的重复问题。 - knedlsepp

@Yaeli778：我必须补充一点，那些向量的选择并不是唯一的。考虑矩阵 A=[1,0; 1,1; 0,1]。你可以选择任意两行的组合，它们都可以满足你的问题。从某种意义上说，所有这些行都对排名有贡献，只是不是同时贡献！ - knedlsepp

Answer 1

你可以使用 rref 来确定矩阵中哪些列组成了 列空间，从而确定哪些向量决定了矩阵的秩。给定你要检查的矩阵 A，你可以这样调用 rref：

[R,RB] = rref(A);

R 是将您的矩阵分解为行简化阶梯形式，而 RB 表示形成矩阵 A 基础的列索引。因此，要寻求您所需的内容，您只需执行以下操作：

Areduced = A(:,RB);

Areduced将是仅由形成矩阵A的列空间的那些基向量组成的矩阵，因此它将减少您的矩阵A，使其仅包含允许您的矩阵具有完全秩的那些列。

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然而，根据您的问题，您想要沿着行进行操作而不是列。 因此，您可以先转置矩阵，在结果上使用rref，然后在完成后再转置回来：

Atranspose = A.';
[R,RB] = rref(Atranspose);
Areduced = Atranspose(:,RB).';

- rayryeng

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谢谢，它正在工作。我想你只需要改变顺序：Areduced = R(RB,:)； - Yaeli778

@Yaeli778 - 哎呀！ 上面的代码应该是Areduced = A(:,RB);。不过，你说你想要沿着行操作，所以你现在做的还不太正确。请看我的更新答案。 - rayryeng