Julia中对于秩不满的矩阵进行大小压缩

Question

我有一个N×N的一般矩阵H，其秩为n(<N)。

有没有办法从H中得到一个秩为n且为n×n的矩阵？

例如：

      |1     2     3|
  H = |4     8     6|
      |0     0     1|

这个矩阵有三个特征值，分别是0、1和9，其秩为2。我想获取一个秩为2的2×2矩阵，以对应于由1和9的特征向量张成的特征空间。

- yosuga

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这是一个Julia问题还是线性代数问题？您已经知道算法，需要帮助在Julia中实现它吗？如果不是，也许math.stackexchange.com是更合适的地方来询问。 - DNF

特征向量有三个元素。也许你想要（紧凑的）奇异值分解？ - David Eisenstat

你想要这个矩阵的基础是什么？如果以特征向量为基础，它将是 [ [1 0] [0 9] ]。 - btilly

Answer 1

我们有一个3x3的矩阵H，已知其秩为r < 3:

1 2 3
4 8 6
0 0 1

一个由 H 的行和列交叉处组成的 nxn 矩阵可以通过计算 H 的 简化行阶梯形式（RREF）（也称为 行规范形式）来获得，该矩阵的秩为 n。

在这样做之后，对于每个 n 行索引 i，RREF 中将存在包含 i 行（即索引为 i 的行）中的 1 和所有其他行中的零的列。可以在此处看到 H 的 RREF 如下。

1 2 0
0 0 1
0 0 0

作为RREF中的第0列（即具有索引0的列），在第0行中有一个1，在所有其他行中都是零；而第2列在第1行中有一个1，在所有其他行中都是零，并且没有其他列在一行中有一个1，在所有其他行中都是零，因此我们得出以下结论：

- H的秩为2； - 由H中在行0和1以及列0和2中的元素组成的nxn矩阵的秩为n。

因此，这里找到了一个秩为n的nxn矩阵。

1 3
4 6

无论H的大小如何（它不需要是正方形），并且H的秩事先不需要知道，都将遵循相同的过程。

- Cary Swoveland

Answer 2

使用RowEchelon.jl包，我们可以很容易地应用@CarySwoveland答案中描述的方法。（虽然这不是我的专业领域，但对它的任何更正都欢迎；具体来说，选择行作为1到枢轴数的范围是基于一些试验的合理猜测。）

julia> H = [1 2 3 
            4 8 6
            0 0 1];

julia> using RowEchelon

julia> _, pivotcols = rref_with_pivots(H)
([1.0 2.0 0.0; 0.0 0.0 1.0; 0.0 0.0 0.0], [1, 3])

julia> result = H[1:length(pivotcols), pivotcols]
2×2 Matrix{Int64}:
 1  3
 4  6

这个包只是一个代码库，原本属于Base Julia，所以如果你不想将其作为依赖项添加，甚至可以复制代码。

- Sundar R