使用仅有的两个随机点和凸度找到圆的中心（x和y位置）

Question

使用仅有的两个随机点和凸度找到圆的中心（x和y位置）

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我正在尝试找到一个圆的中心。我唯一有的信息是：圆内的两个随机点和圆弧长度。目前为止，我已经成功计算出了圆的半径（至少我认为是这样）。下面是我目前使用过的方程式：

这些只是随机值，会根据用户输入而改变）

点A(x=10，y=15) 点B(x=6，y=12)

圆弧长度=0.41

距离=点B-点A

半径=(距离/4)*(圆弧长度+(1/圆弧长度))

如果这个数学公式不正确，请告诉我，但请记住，我需要找到圆的中心的X和Y坐标。

- Ricardo Coelho

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这将导致每个情况下都有两种可能的解决方案，其中两个点在圆上不直接相对。 - Ignacio Vazquez-Abrams

是的，永远会有两个圆，但我相信我可以再次使用凸起来确定正确的那一个。如果凸起为正，我就得到一个，如果为负，则是另一个。我只是不想谈论它，以避免过于复杂化事情。 - Ricardo Coelho

2个回答

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我相信你在这个参考文献中已经掌握了所有所需的数学知识：http://autocad.wikia.com/wiki/Arc_relationships

圆心必须位于通过垂直向量AB的中点的线上。你知道由三个点形成的三角形的角度，因为你知道凸度，所以你需要解决一个简单的方程。试一试，如果你不行，我会帮助你。

Ignacio指出将会有两个解是正确的。

编辑

中点由以下公式给出：

M = (A + B) / 2

AB向量由以下给出：

AB = A-B

具有坐标（X，Y）的圆C的中心必须在以下线路上：

((X, Y) - M) * AB = 0 //where * is the scalar vector product

由点A、B和C生成的等腰三角形，其对边为AB线段所对应的角：

Angle = 4 arctan(bulge)

现在我们可以计算从中心C到A的距离，我们称之为d1，以及从A到B的一半距离，我们称之为d2，然后我们就知道了。

sin (Angle/2) = d2/d1

这将为您提供X和Y的第二个二次方程式（它有两个解）。

抱歉，我不知道如何在此处插入数学符号 :-)

- Eduardo Ramos

这只是一个更大函数的一小部分。我不知道是因为太累了（整天都在做这个）还是太蠢了，无法理解下一步该怎么做。如果你能给我更多提示，那将非常有帮助。 - Ricardo Coelho

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可以查看英文原文，
原文链接

- Leandro Caniglia · Accepted Answer

这是一个问题的图片：

enter image description here

根据定义，凸起是b=tg(Alpha/4)

从三角公式：tg(2 angle)=2tg(angle)/(1-tg²(angle))

应用于angle=Alpha/4并使用凸起的定义：

tg(Alpha/2)=2b/(1-b²)

另一方面

tg(Alpha/2)=s/d

然后

s/d=2b/(1-b²)和

d=s(1-b²)/(2b)

这使我们能够计算d，因为b已知且s = ||B - A||/2，其中 ||B - A|| 表示向量B - A的范数。

现在，让我们计算

(u,v) = (B - A)/||B - A||

然后||(u,v)|| = 1，(v,-u)垂直于B - A，我们有

C = (v,-u)d + (A+B)/2

更新

计算中心的伪代码

输入：

A = (a1, a2), B = (b1, b2) "two points"; b "bulge"

Calculations:

"lengths"
norm := sqrt(square(b1-a1) + square(b2-a2)).
s := norm/2.
d := s * (1-square(b))/(2*b)

"direction"
u := (b1-a1)/ norm.
v := (b2-a2)/ norm.

"center"
c1 := -v*d + (a1+b1)/2.
c2 := u*d + (a2+b2)/2.
Return C := (c1, c2)

注意：对于居中有两种解决方案，另一种是

c1 := v*d + (a1+b1)/2.
c2 := -u*d + (a2+b2)/2.
Return C := (c1, c2)