在Matlab中获得满足线性方程的最佳答案的方法是什么？

Question

在Matlab中获得满足线性方程的最佳答案的方法是什么？

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我有一个一次方程：

vt = v1*x1 + v2*x2 + v3*x3

"vt，v1，v2，v3是取值在0到1之间的标量。生成一个满足上述方程并且满足条件的x1、x2和x3的最佳方法是什么？"

x1>0
x2>0
x3>0

我有几千套 vt、v1、v2 和 v3，因此我需要能够以编程方式生成 x1、x2 和 x3。

- Cici

最快的方法是将 x1 和 x2 设为已知，并解出 x3。x1 和 x2 可以由您设置，也可以随机生成。如果您随机生成它们，应确保 vt 小于 v1*x1 + v2*x2。您还可以使用 linprog 并将其转化为线性规划来解决。x1 和 x2 是否相同有影响吗？ - rayryeng

@rayryeng 这也是我的初步想法。我无法想到一种聪明的方法来随机生成x1和x2，并确保vt<v1x1 + v2x2（我知道我可以不断地随机生成x1和x2直到满足条件）。 - Cici

@rayryeng 另外，如果 x1 和 x2 是从某个分布（例如均匀分布）随机抽取的，则更好（在一定约束条件下随机抽取）。 - Cici

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没问题。我们可以通过使用linprog来避免这个问题。我会为您编写一个答案。 - rayryeng

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- rayryeng · Accepted Answer

您可以有两种方法来解决这个问题：

从您在帖子中设计的方法。随机生成x1和x2，并确保vt < v1*x1 + v2*x2，然后继续解决x3。
将其制定为线性规划。线性规划基本上是解决一组受不等式或等式约束的方程组。换句话说：

$blah$

因此，我们可以将您的问题转化为线性规划问题。"最大化"语句是所谓的目标函数 - 您试图实现的总体目标。在线性规划问题中，我们试图最小化或最大化这个目标。为了做到这一点，我们必须满足在"约束条件"中看到的不等式。通常，这个程序以"标准形式"表示，因此每个变量的约束条件应该是正的。

最大化条件可以是任意的，因为您不关心目标。您只关心任何解决方案。这整个范例可以通过MATLAB中的linprog实现。您需要注意的是如何指定linprog。实际上，目标被最小化而不是最大化。然而，除了确保所有变量都是正的之外，条件是相同的。我们将不得不自己编码。

在任意目标方面，我们可以简单地执行 x1 + x2 + x3。因此，c = [1 1 1]。我们的等式约束是：v1*x1 + v2*x2 + v3*x3 = vt。我们还必须确保x为正。为了编码这个问题，我们可以选择一个小常数，使得所有x值都大于这个值。目前，linprog不支持严格不等式（即x > 0），所以我们必须通过这种方法来规避这个问题。另外，为了确保值为正，linprog假设Ax <= b。因此，一个常用的技巧是否定x >= 0的不等式，因此这相当于-x <= 0。为了确保值非零，我们实际上会做：-x <= -eps，其中eps是一个小常数。然而，在我进行实验时，通过这种方式做，两个变量最终会成为同一个解。因此，我建议我们生成每次随机的好解决方案，让我们像你说的那样从均匀随机分布中抽取b。这将为我们提供每次解决这个问题的起点。

因此，我们的不等式为：

 -x1 <= -rand1
 -x2 <= -rand2
 -x3 <= -rand3

rand1, rand2, rand3是三个随机生成的数字，它们的取值范围在0到1之间。以矩阵形式表示：

 [-1 0 0][x1]      [-rand1]
 [0 -1 0][x2]  <=  [-rand2]
 [0 0 -1][x3]      [-rand3]

最后，我们之前的等式约束是：

[v1 v2 v3][x1]     [vt] 
          [x2]  = 
          [x3]

现在，要使用linprog，您需要执行以下操作：

X = linprog(c, A, b, Aeq, beq);

c 是一个系数数组，用于定义目标函数。在这种情况下，它将被定义为 [1 1 1]，A 和 b 是不等式约束所定义的矩阵和列向量，Aeq 和 beq 是等式约束所定义的矩阵和列向量。因此，X 将在 linprog 收敛后给出解决方案（即 x1，x2，x3）。因此，您需要执行以下操作：

A = -eye(3,3);
b = -rand(3,1);
Aeq = [v1 v2 v3];
beq = vt;
c = [1 1 1];
X = linprog(c, A, b, Aeq, beq);

作为一个例子，假设 v1 = 0.33, v2 = 0.5, v3 = 0.2，以及 vt = 2.5。因此：

rng(123); %// Set seed for reproducibility
v1 = 0.33; v2 = 0.5; v3 = 0.2;
vt = 2.5;
A = -eye(3,3);
b = -rand(3,1);
Aeq = [v1 v2 v3];
beq = vt;
c = [1 1 1];
X = linprog(c, A, b, Aeq, beq);

我得到：

为了验证这是否等于vt，我们需要执行：

s = Aeq*X

s = 2.5000

上面的内容简单地计算了 v1*x1 + v2*x2 + v3*x3。这是以点积形式计算的，以使事情变得容易，因为 X 是列向量，而 v1、v2、v3 已经在 Aeq 中设置为行向量。

因此，两种方法都可以，但至少使用 linprog，您不必一直循环直到满足条件！

小注意事项

在上述方法中我忘了提及的一个小注意事项是，您需要确保 vt >= v1*rand1 + v2*rand2 + v3*rand3 以确保收敛。由于您说 v1,v2,v3 介于 0 和 1 之间，最坏情况是当 v1,v2,v3 都等于 1 时。因此，我们确实需要确保 vt > rand1 + rand2 + rand3。如果这不是这种情况，则只需取每个 rand1, rand2, rand3 的值，并除以 (rand1 + rand2 + rand3) / vt。这将确保总和等于 vt（假设所有权重都为 1），并且这将使线性规划正确收敛。

如果不这样做，由于为b设置的不等式条件，解决方案将无法收敛，您将无法得到正确的答案。这只是一些思考的食物！因此，在运行linprog之前，请先对b执行此操作。

if sum(-b) > vt
   b = b ./ (sum(-b) / vt);
end

祝你好运！