如何表示一个4x4矩阵的旋转？

Question

给定x、y、z旋转矩阵的定义，如何将它表示为一个完整的矩阵？只需将x、y和z矩阵相乘即可。

X轴旋转：

[1 0 0 0]
[0 cos(-X Angle) -sin(-X Angle) 0]
[0 sin(-X Angle) cos(-X Angle) 0]
[0 0 0 1]

Y轴旋转：

[cos(-Y Angle) 0 sin(-Y Angle) 0]
[0 1 0 0]
[-sin(-Y Angle) 0 cos(-Y Angle) 0]
[0 0 0 1]

旋转Z轴：

[cos(-Z Angle) -sin(-Z Angle) 0 0]
[sin(-Z Angle) cos(-Z Angle) 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1] 

编辑：我有一个独立的旋转类，其中包含x、y、z浮点值，稍后我会将其转换为矩阵，以便与其他平移/缩放/旋转组合。

从这里的答案来看，我可以假设如果我做这样的事情：

Rotation rotation; rotation.SetX(45); rotation.SetY(90); rotation.SetZ(180);

那么应用旋转的顺序实际上非常重要？或者在使用旋转类时，接受它们按照x、y、z的顺序应用是安全的吗？

- Mark Ingram

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这里有答案：[https://dev59.com/blTTa4cB1Zd3GeqPweL9#5188904]。 - Glenn

Answer 1

是的，依次乘以这三个矩阵将合成它们。

编辑：

您对矩阵的乘法应用顺序将决定旋转应用于点的顺序。

P × (X × Y × Z)     Rotations in X, Y, then Z will be performed
P × (Y × X × Z)     Rotations in Y, X, then Z will be performed
P × (Z × X × Y)     Rotations in Z, X, then Y will be performed

- Ignacio Vazquez-Abrams

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请注意，可能不是您期望的旋转（请记住，在三维中，旋转不可交换）。 - user168715

但请注意，组合的顺序很重要——矩阵乘法不是可交换的，不同轴的旋转也不是可交换的。 - walkytalky

首先，确定应用旋转的顺序（比如先X再Y然后Z）。然后，还取决于您的约定是将点表示为行向量还是列向量。对于行向量，您有 ((r*X)*Y)*Z = r*(XYZ) — 而对于列向量，您有 Z*(Y*(X*c))=(ZYX)*c。 - comingstorm

我已经更新了我的问题，请您能再进一步澄清一下吗？ - Mark Ingram

Answer 2

实际上，你应用旋转的顺序非常重要。

你所需的顺序取决于你想让旋转做什么。例如，如果你正在建模一个飞机，你可能希望先进行横滚（沿着机身的长轴旋转），然后是俯仰（沿着另一个水平轴旋转），最后是航向（沿着垂直轴旋转）。这是因为，如果你首先进行航向旋转，飞机将不再与其他轴对齐。此外，你需要处理约定：这些轴中哪些对应X、Y和Z？

通常，你只想为特定应用程序选择特定的旋转顺序。定义一个通用的“XYZ旋转”对象并没有太多意义；通常，你会有通用的变换（即可以是任何旋转、平移等的矩阵）以及各种获取它们的方式（例如rotX、rotY、translate、scale...），还可以通过矩阵乘法以特定顺序应用它们。

如果你想要表示旋转而不含其他内容的东西，你可以考虑四元数（如anand所建议的）。但是，你仍然需要决定旋转的顺序，而且再次强制规定一个必需的顺序并没有太多意义。

- comingstorm

Answer 3

顺便提一下，如果你在开发活动中还处于早期阶段，你可能想考虑使用四元数旋转。它相对于基于矩阵的方法有许多比较优势。

- andand