傅里叶变换Sympy无响应？

Question

sympy能否快速计算傅里叶变换，或者我需要使用其他软件？因为我试过很多方法。虽然我在python和Sympy方面缺乏经验，但是否有更快的方法用python进行这些傅里叶变换呢？

1. (a +j \ omega) / (4a^2 + (a+j \ omega)^2) ) 我尝试了如下代码：

    from sympy import poly, pi, I, pow
    from sympy.abc import a,f, n, k
    n = poly(a**2 + t**2)
    k = t / n
    fourier_transform(k , t, 2*pi*f)

我收到了以下信息： 这是来自Python 3.9 shell的另一个示例： 那么实际结果呢？

- tonythestark

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未经评估的结果意味着SymPy没有计算特定傅里叶变换的算法。 - asmeurer

@asmeurer 那这不是我的代码的问题？sympy只是无法计算它？ - tonythestark

是的，没错。不幸的是，SymPy在计算涉及到delta函数的傅里叶变换时还不是很好。 - asmeurer

Answer 1

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目前，如果傅里叶变换返回一个PieceWise表达式，它会抛出异常并返回一个未求值的表达式。因此，SymPy可以进行积分，只是形式不太好看。这是手动积分后的结果。

如果您想得到这种答案，您可以自己使用此函数来实现。

def my_fourier_transform(f, t, s):
    return integrate(f*exp(-2*S.Pi*I*t*s), (t, -oo, oo)).simplify()

可以看到，长条件中有arg(a)和arg(s)，它们应该分别是sign(a)和sign(s)（假设它们是实值的）。在Wolfram Alpha中进行类似的操作后，我认为这是一个正确的结果。只是不太好看。

但我发现了一个小技巧。如果SymPy难以简化某些内容，通常给它更强的假设是解决问题的方法，如果你的主要目标仅仅是获得答案。很多时候，即使假设不成立，答案仍然是正确的。所以我们让变量为正数。

请注意，如下面的注释所述，SymPy对变换的处理方式与Wolfram Alpha不同。这就是为什么我的第三个参数不同的原因。

from sympy import *
a, s, t = symbols('a s t', positive=True)
f = t / (a**2 + t**2)
# Wolfram computes integral(f(t)*exp(I*t*w))
# SymPy computes integral(f(t)*exp(-2*pi*I*s*t))
# So w = -2*pi*s
print(fourier_transform(f, t, -s))
# I*pi*exp(-2*pi*a*s)

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如果我错了，请纠正我，但根据维基百科：

因此，Dirac Delta的傅里叶变换为1。

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使用上述定义的my_fourier_transfrom函数，我们得到：

第一个条件始终为假。这可能是SymPy失败的原因，因为这个积分发散。我认为这是因为它无法确定它是oo，-oo还是zoo。

- Chris du Plessis