在R中使用限制系数的ARIMA模型的AIC、BIC值

Question

使用forecast包中的arima()函数来估计同一个AR（或MA）模型的不同指定方式会产生不同的BIC（贝叶斯信息准则）值。

为什么会发生这种情况？

考虑两个模型：

(1) AR(1) (2) AR(2)，其中AR2系数被限制为零

在纸上，这两个模型是相同的。然而，它们的估计可能不同。不确定为什么它们会产生相等的系数估计、相等的对数似然值和相等的AIC值，但是不同的BIC值。

由于似然度相等且AIC值相等，而BIC值不同，因此在估计中使用的观测值数量必须不同。然而，暗示的观测值数量差异不是1或2，而是更大。

这是否合理，还是一个错误？

我想知道区别在哪里以及在情况（2）下如何计算BIC。我希望能够重现结果，因此需要了解这里的工作原理。

下面我提供一个可复现的示例。在R中执行后，请查看打印的BIC和AICc值——它们在两个模型之间是不同的。

library(forecast)
T=1000; seed=1; set.seed(seed); x=rnorm(T) 
model1=arima(x,order=c(1,0,0)                 ,method="CSS-ML",transform.pars=FALSE)
model2=arima(x,order=c(2,0,0),fixed=c(NA,0,NA),method="CSS-ML",transform.pars=FALSE)
print(model1)
print(model2)

同样适用于AR(p)和MA(q)模型，为了保持简单，我不会明确讨论它们。

希望有人能解释一下为什么会发生这种情况。谢谢！

- Richard Hardy

Answer 1

AICc和BIC的计算在forecast:::print.Arima函数内部完成，而AIC由arima()返回。如果您查看forecast:::print.Arima的代码，您将看到以下内容:

npar <- length(x$coef) + 1
nstar <- length(x$residuals) - x$arma[6] - x$arma[7] * x$arma[5]
bic <- x$aic + npar * (log(nstar) - 2)
aicc <- x$aic + 2 * npar * (nstar/(nstar - npar - 1) - 1)

请注意，npar不考虑未估计系数（即那些限制为指定值的系数）。它假设x$coef中的所有系数都已被估计。可以通过使用来纠正这个问题。

npar <- length(x$coef[x$mask]) + 1

我已经修复了该软件包的Github版本，因此CRAN版本将在下一个发布时更新。

- Rob Hyndman