计算两个移动的球将碰撞的 x/y 坐标点

Question

我正在尝试制作一个基本的台球游戏，并希望能够预测一杆球撞击另一个球后的去向。

首先，我认为需要计算球杆是否会撞击到任何物体，如果碰撞了，需要计算出碰撞点。我可以计算出直线和球的碰撞点，但是不知道两个球之间的碰撞点。

所以，给定2个球的x/y位置和速度，我该如何计算它们相撞的点？

（PS：我知道可以通过在每一步中计算两个球之间的距离来实现这一点，但我希望有更加优雅和高效的方法。）

设置示例：试图计算红点的位置：

http://dl.dropbox.com/u/6202117/circle.PNG

- user352151

Answer 1

需要注意以下几点：

• 当两个半径均为 r 的球碰撞时，它们的中心点距离为 2r。
• 可以假定第一个球沿直线运动（第一次近似，但从这里开始），并且可以找到此路径与第一球到第二球方向之间的角度 alpha。
• 你知道静止球的中心吧？

现在你有一些几何问题要解决。

按照以下步骤进行构造：

1. 将第一个（移动）球的当前中心标记为点 A。
2. 将静止球的中心标记为点 B。
3. 构造线段 AB。
4. 从 A 沿着运动方向构造射线 R。
5. 围绕点 B 构造一个半径为 2r 的圆。
6. 从 B 垂直于 R 画出一条线段，将其相交点标记为 C。
7. 已知距离 AB，可以用正弦定律找到 AB 和 R 之间的角度 alpha，然后找到线段 BC 的长度。
8. 根据该长度确定是否存在 0、1 或 2 个解。如果有 0 或 1 个解，则完成了。
9. 在圆上距离点 A 更近的位置构建点 D，再次使用正弦定律找到距离 AD 的长度。
10. 碰撞点是线段 BD 的中点。

现在你知道了一切。

从这些内容中构建高效代码需要自己动手实践。

---

顺便提一下——如果两个小球都在运动，这种构造方法是行不通的。但你可以转换到一个其中一个小球静止的参考系中来解决问题，然后再转回去。只要确保在逆变换之后解的结果位于允许的范围内就行了...

物理学家们总是会说出类似这样的评论。我试图抵制，但我真的做不到。

- dmckee --- ex-moderator kitten

---

我真是个笨蛋。之前有好几个人跟我解释过这个问题，但现在才明白。由于某种原因，我一直认为做2r会导致碰撞出现问题。感谢帮助，从这里开始我应该能够解决这个问题了。 - user352151

完成这种事情几次后，你会自动地拿起笔记本或白板。这就是你永远沉溺于编程世界的时刻... - dmckee --- ex-moderator kitten

这个答案让我感觉像是回到了高中几何课堂，这是不是很糟糕...但有点喜欢呢？ - userx

刚才查看了你的个人资料，dmckee。中微子-干得好。听起来经过多年努力终于开始有所回报了。我真的很喜欢这个答案，期待能看到更多你的作品。 - duffymo

Answer 2

@dmckee的回答示意图如下：

编辑

针对@ArtB巫师的回答，上述图中D点的解决方案可以写成：

1/2 {(Ax+Bx+2 d Dx Cos[alpha]- Dx Cos[2 alpha]+ 2 Dy (Cos[alpha]-d) Sin[alpha]), 
     (Ay+By+2 d Dy Cos[alpha]- Dy Cos[2 alpha]- 2 Dx (Cos[alpha]-d) Sin[alpha])
     }  

在哪里

Dx = Ax - Bx 
Dy = Ay - By   

And

d = Sqrt[4 r^2 - (Dx^2 + Dy^2) Sin[alpha]^2]/Sqrt[Dx^2 + Dy^2]  

HTH!

- Dr. belisarius

Answer 3

我正在查看@dmckee的解决方案，需要花费相当多的工作来理解它。以下是我的笔记，供那些可能正在寻找更实用答案的人参考，这些笔记直接摘自他/她的帖子，因此功劳归于他/她，但任何错误都是我的责任。我通常使用类似Pascal的赋值运算符（即：= ）来区分显示我的工作和实际必要的代码。我使用标准的Y = mX + b 格式和准面向对象符号。我对段和结果线都使用BC。话虽如此，这应该是“几乎”可以复制粘贴的Python代码（删除“;”，用适当版本替换“sqrt”和“sqr”等）。

1. A.x和A.y是x和y的位置，A.r是A的半径，A.v是速度，其中A.v.x是其x分量，A.v.y是其y分量。
2. B也是一样，但没有速度（或更准确地说，从A的速度中减去B的速度，使B相对静止）。
3. AB.m := (b.y - a.y) / (b.x - a.x); AB.b := A.y - AB.m * A.x;
4. R.m := A.v.y / A.v.x; R.b := A.y - R.m * A.x;
5. 不必要
6. BC.m := -A.v.x/A.v.y; 这是垂直斜率的标准方程，BC.b := B.y - BC.m * B.x; 现在C是AB与BC相交的点，所以我们知道它们是相等的，因此让我们将C.y等于AB.m * C.x + AB.b == BC.m * C.x + BC.b；所以C.x := (AB.m - BC.M) / (BC.b - AB.b);然后只需插入C.x即可得到C.y := AB.m * C.x + AB.b;
7. 您可以忽略正弦定律，因为我们有AB和BC，因此我们可以使用勾股定理来获得BC的长度，BC.l := sqrt( sqr(B.x-C.x) + sqr(B.y-C.y) );
8. 如果BC.l > A.r + B.r，则没有解，这些圆不相交，因为C是A相对于B的近地点。如果BC.l == A.r + B.r，则只有一个解，即C == D。否则，如果BC.l < A.r + B.r，则有两个解。您可以这样想，如果没有解，则子弹错过了，如果有一个解，则子弹擦伤了，如果有两个解，则既有入口又有出口。距离A更近的那个是我们想要的。
9. 1. 现在，数学变得丑陋，所以我会展示我的工作，以防我做错了什么。
   2. D是AC上距离B A.r + B.r（也就是2r）的点，因此：sqrt( sqr(D.x - B.x) + sqr(D.y - B.y) ) == 2r
   3. 因此，sqr(D.x - B.x) + sqr(D.y - B.y) == 4*r*r。现在有两个变量（即D.x和D.y）和一个方程式是麻烦的，但我们还知道D在线上AC上，因此D.y == AC.m*D.x + AC.b。
   4. 我们可以替换D.y，得到sqr(D.x - B.x) + sqr(AC.m * D.x + AC.b - B.y) == 4*r*r。
   5. 这扩展成可爱的：sqr(D.x) + 2*D.x - sqr(B.x) + sqr(AC.m*D.x) + 2*AC.b*D.x - 2*AC.m*D.x*B.y + sqr(AC.b) - 2*AC.b*B.y + sqr(B.y) == 4*r*r（这是我可能犯错的部分如果我真的犯错了）。
   6. 我们可以

      我希望我只是为了卡尔玛或死灵法师徽章而发帖，但我真的需要解决这个问题，并想与大家分享。唉，我现在想躺下了。

- Sled

---

现在这真是令人尴尬。好吧，至少我尝试过了。感谢提供一个比我的混乱更简单的替代方案。 - Sled

不用谢。记得在你的评论中以@用户名开头，这样你的对话方就会收到通知。我刚刚回来交叉检查了我的答案！ - Dr. belisarius

根据您的应用程序，您可能不需要知道构造中每个点的位置。如果您以向量术语编写数学公式，则可能会发现这更容易：如果我一开始就尝试将所有内容都写成组件形式，我总是会迷失方向。 - dmckee --- ex-moderator kitten