分割单位球

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我想为单位向量建立一个查找表。每个单位向量将映射到此表中的一个bin,并且该bin将包含一些具有类似方向的向量的信息。
我可以使用($\theta$, $\phi$, 1)轻松表示一个向量,然后将角度范围分成bin以制作2D查找表(因此第一个bin是0到$2*\pi / N$之间的theta,其中N是我想要的theta方向bin数)。问题在于我认为一些bin将代表比其他bin更大的单位球面上的区域,并且我想获得大致相同大小的区域。
我错误地认为均匀划分角度范围会使某些bin比其他bin更大吗?如果不是,是否有人知道制作此查找表的更好方法?
我找到了一些论文和演示文稿,例如这份,但我不会撒谎,我不理解它(我听说过勒贝格测度,但我不知道它是什么意思),而且看起来也不怎么有希望。

你也要将phi角度除以箱子数量吗? - Yevgeniy.Chernobrivets
你能否提供一些关于如何使用这个查找表的见解?这可能会帮助我们提出有用的解决方案。 - Codie CodeMonkey
@Yevgeniy.Chernobrivets 是的,那是计划。 - anjruu
@CodieCodeMonkey 我的算法可以在一系列旋转中进行,我正在尝试优化检查旋转是否良好的过程。我想尝试的一种方法是预先计算这个查找表,它保存每个箱子是否包含在范围内的法线。查找只是通过候选旋转映射X和Y向量,并检查它们是否都“好”(需要两个查找表,一个用于X,一个用于Y)。 - anjruu
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一个单位球同胚于许多简单的多面体。你能将“箱”定义为与多面体的一个面相交的向量集合吗?(其中多面体位于球心)。你可以从四面体开始,根据需要进行细分。 - Codie CodeMonkey
1个回答

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如果你将经度分成N个相等的部分,那么为了在单位球上获得相等的区域域,你必须沿着纬度维度拥有“不均匀”的部分。 两条常纬线(平行线)之间的球形段的面积仅取决于“高度”,即该段在垂直轴上的投影长度。 这意味着,如果您将垂直轴分成相等长度的部分,则将分割球体成为相等的区域。
底线是:以下N*M个区域具有相等的面积:
  • 2*k*pi/N < longitute < 2*(k+1)pi/Nk=0...N-1
  • -1 + 2*j/M < sin(latitude) < -1 + 2*(j+1)/Mj=0...M-1

谢谢,这看起来很棒! - anjruu

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