以下内容均基于Matthew Pickering在评论中发布的非常有趣的论文:
从幺半群到近半环:MonadPlus和Alternative的本质 (E. Rivas, M. Jaskelioff, T. Schrijvers)。所有结论均为他们所得;所有错误均为我的。
从自由幺半群到DList
为了建立直觉,首先考虑Haskell类型范畴
Hask
上的自由幺半群
[]
。
[]
的一个问题是,如果你有...
(xs `mappend` ys) `mappend` zs = (xs ++ ys) ++ zs
然后对此进行评估需要遍历和重新遍历xs
,针对每个左嵌套的mappend
应用。
解决方案是使用CPS,采用差分列表(difference
lists)形式:
newtype DList a = DL { unDL :: [a] -> [a] }
本文考虑这个泛型形式(称为Cayley表示),在此我们不局限于自由幺半群:
newtype Cayley m = Cayley{ unCayley :: Endo m }
使用转换
toCayley :: (Monoid m) => m -> Cayley m
toCayley m = Cayley $ Endo $ \m' -> m `mappend` m'
fromCayley :: (Monoid m) => Cayley m -> m
fromCayley (Cayley k) = appEndo k mempty
泛化的两个方向
我们可以通过两种方式来泛化上述结构:第一种是考虑在Hask
之外,而是在Hask
的自函子上的幺半群;即单子;第二种是将代数结构丰富成近半环。
Free
单子到Codensity
对于任何Haskell(自)函子f
,我们可以构造出Free f
自由单子,它会有类似于左嵌套绑定的性能问题,使用Cayley表示Codensity
的解决方案也是相似的。
近半环而不仅仅是幺半群
这里,本文停止审查对于熟悉 Haskell 的程序员而言已经众所周知的概念,开始聚焦于其目标。近半环类似于一个环,但更为简单,因为只需要加法和乘法是幺半群。两个操作之间的联系就像你预期的那样:
zero |*| a = zero
(a |+| b) |*| c = (a |*| c) |+| (b |*| c)
其中(zero, |+|)
和(one, |*|)
是基于共享基础的两个单子:
class NearSemiring a where
zero :: a
(|+|) :: a -> a -> a
one :: a
(|*|) :: a -> a -> a
免费的近半环(在Hask
上)实际上是以下Forest
类型:
newtype Forest a = Forest [Tree a]
data Tree a = Leaf | Node a (Forest a)
instance NearSemiring (Forest a) where
zero = Forest []
one = Forest [Leaf]
(Forest xs) |+| (Forest ys) = Forest (xs ++ ys)
(Forest xs) |*| (Forest ys) = Forest (concatMap g xs)
where
g Leaf = ys
g (Node a n) = [Node a (n |*| (Forest ys))]
很幸运我们没有交换或逆元,这使自由表示远非平凡...
然后,该论文对两个单调结构分别应用Cayley表示。
然而,如果我们这样做得太简单,我们将无法获得一个好的表示:我们想要表示一个“近环”,因此必须考虑整个“近环”结构,而不仅仅是一个选择的单体结构。[...] [W] 我们可以得到循环同态上的半环DC(N)
:
newtype DC n = DC{ unDC :: Endo (Endo n) }
instance (Monoid n) => NearSemiring (DC n) where
f |*| g = DC $ unDC f `mappend` unDC g
one = DC mempty
f |+| g = DC $ Endo $ \h -> appEndo (unDC f) h `mappend` h
zero = DC $ Endo $ const mempty
我稍微修改了这里的实现方式,强调我们使用了两次Endo
结构。当我们将其推广时,这两个层次将不会相同。然后,论文继续说:
请注意,rep
不是从N
到DC(N)
的近半环同态,因为它没有保留单位元[...] 然而,如果我们将值提升到表示形式,进行近半环计算,然后回到原始近半环,计算过程的语义将得到保留。
MonadPlus
几乎是一个近半环
然后,论文继续重新定义MonadPlus
类型类,以便符合近半环规则:(mzero, mplus)
是单子的:
m `mplus` mzero = m
mzero `mplus` m = m
m1 `mplus` (m2 `mplus` m3) = (m1 `mplus` m2) `mplus` m3
它与单子-幺半群的交互如预期一样:
join mzero = mzero
join (m1 `mplus` m2) = join m1 `mplus` join m2
或者,使用绑定:
mzero >>= _ = mzero
(m1 `mplus` m2) >>= k = (m1 >>= k) `mplus` (m2 >>= k)
然而,这些
不是来自
base
的
现有的MonadPlus
类型类规则,列举如下:
mzero >>= _ = mzero
_ >> mzero = mzero
这篇论文将满足类似于近半环律的
MonadPlus
实例称为“非确定性单子”,并引用
Maybe
作为一个例子,它是
MonadPlus
但不是非确定性单子,因为设置
m1 = Just Nothing
和
m2 = Just (Just False)
是
join (m1 `mplus` m2) = join m1 `mplus` join m2
的反例。
另一方面,我们有类似于
Forest
的自由非确定性单子以及Cayley表示形式。
newtype FreeP f x = FreeP { unFreeP :: [FFreeP f x] }
data FFreeP f x = PureP x | ConP (f (FreeP f x))
instance (Functor f) => Functor (FreeP f) where
fmap f x = x >>= return . f
instance (Functor f) => Monad (FreeP f) where
return x = FreeP $ return $ PureP x
(FreeP xs) >>= f = FreeP (xs >>= g)
where
g (PureP x) = unFreeP (f x)
g (ConP x) = return $ ConP (fmap (>>= f) x)
instance (Functor f) => MonadPlus (FreeP f) where
mzero = FreeP mzero
FreeP xs `mplus` FreeP ys = FreeP (xs `mplus` ys)
另一方面,两个单调层的双Cayley表示:
newtype (:^=>) f g x = Ran{ unRan :: forall y. (x -> f y) -> g y }
newtype (:*=>) f g x = Exp{ unExp :: forall y. (x -> y) -> (f y -> g y) }
instance Functor (g :^=> h) where
fmap f m = Ran $ \k -> unRan m (k . f)
instance Functor (f :*=> g) where
fmap f m = Exp $ \k -> unExp m (k . f)
newtype DCM f x = DCM {unDCM :: ((f :*=> f) :^=> (f :*=> f)) x}
instance Monad (DCM f) where
return x = DCM $ Ran ($x)
DCM (Ran m) >>= f = DCM $ Ran $ \g -> m $ \a -> unRan (unDCM (f a)) g
instance MonadPlus (DCM f) where
mzero = DCM $ Ran $ \k -> Exp (const id)
mplus m n = DCM $ Ran $ \sk -> Exp $ \f fk -> unExp (a sk) f (unExp (b sk) f fk)
where
DCM (Ran a) = m
DCM (Ran b) = n
caylize :: (Monad m) => m a -> DCM m a
caylize x = DCM $ Ran $ \g -> Exp $ \h m -> x >>= \a -> unExp (g a) h m
runDCM :: (MonadPlus m) => DCM m a -> m a
runDCM m = unExp (f $ \x -> Exp $ \h m -> return (h x) `mplus` m) id mzero
where
DCM (Ran f) = m
这篇论文举了一个在非确定性单子中运行的计算示例,对于
FreeP
来说表现不佳。
anyOf :: (MonadPlus m) => [a] -> m a
anyOf [] = mzero
anyOf (x:xs) = anyOf xs `mplus` return x
事实上,尽管
length $ unFreeP (anyOf [1..100000] :: FreeP Identity Int)
需要很长时间,Cayley 变换后的版本
length $ unFreeP (runDCM $ anyOf [1..100000] :: FreeP Identity Int)
立即返回。
LogicT
单子变换器中,什么情况下k
与improvePlus k
不同吗? - Aadit M Shah