如何通过绘制方程的实部和虚部来确定方程的根

Question

这是一个关于数学的普遍问题（甚至可能有些愚蠢）。但在高中，我们通过方程的图形来确定其根。例如，对于以下方程：

y = x^2 - 1

蓝线将显示给我们根。当蓝线穿过 x 轴时，即 +-1。

现在，如果我们说这个方程有一个实部和一个虚部，那么它就是

y = x^2 - 1 + (x^2 - 0.5)i 

如Mathematica截图所示，我们有一个实部穿过零点，和一个虚部也穿过零点但在不同的x上。所以我的问题是：是否可能通过简单地查看绘图的实部和虚部来识别这种方程的根？

注意：我困惑的部分是，如果我在Mathematica中使用FindRoot，我会得到0.877659-0.142424i或-0.877659+0.142424i。所以可能有一些基本的数学属性我不知道，阻止了通过分离实部和虚部来识别复杂函数的根...

- Mac

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你的图表假设 x 是实数。如果要绘制实数值与复变量之间的关系，您需要使用三维图表。 - dxiv

有趣的想法，但在我看来似乎不能导出一个实用的鉴别根的标准。如果你看一下一个一般的多项式 a x + b x^2 + c，然后写成 x = rp + i ip（其中 rp = 实部，ip = 虚部），并展开它，然后问，什么时候它的实部和虚部都为零？这给出了另外两个多项式，它们并不比你开始的那个简单。试试看你能得到什么。 - Robert Dodier

我投票关闭此问题，因为它与编程无关。更适合在 http://maths.stackexchange.com/ 上提问。 - kaya3

Answer 1

我们有一个实部穿过零点，和一个虚部也穿过零点但在不同的x处。这些是实部和虚部的图形，绘制了实数值的x。如果它们都在相同的点上穿过水平轴，那么这意味着方程有实根，因为对于某个实数值的x，实部和虚部都将为零。然而，该方程没有实根，因此交叉点是不同的。

所以我的问题是：是否可能通过简单地查看绘图的实部和虚部来确定这种方程的根？

f（x）= x ^ 2-1 + i（x ^ 2-0.5）是关于复变量的复函数，它将复变量x = a + ib映射到复值f（x）= Re（f（x））+ i Im（f（x））。

每个 Re(f(x)) 和 Im(f(x)) 都是一个关于复变量的实函数。这些函数可以通过将 x = a + ib 表示为 (a, b) 平面上的点，并沿第三维度，如 c，表示函数值来在 3D 中绘制。例如，f(x) 的实部和虚部 如下图所示。

两个表面在水平平面上的截面是曲线对，每个函数分别为零。由此得出，这些曲线的交点是Re(f(x)) = Im(f(x)) = 0的点，这意味着它们是方程f(x) = 0的根。

由于f(x)=0是一个二次方程，因此它必须有两个根，而这两个点实际上是±(0.877659 - 0.142424 i)，可以通过直接计算来验证。

- dxiv